Giải tích sơ cấp Ví dụ

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$

Bước 1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$64 x - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Bước 2

Đưa $32$ ra ngoài $64 x - 32$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $32$ ra ngoài $64 x$ .

$32 (2 x) - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Bước 2.2

Đưa $32$ ra ngoài $- 32$ .

$32 (2 x) + 32 (- 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Bước 2.3

Đưa $32$ ra ngoài $32 (2 x) + 32 (- 1)$ .

$32 (2 x - 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Bước 3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $2 x^{4}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Bước 3.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 13 x^{3}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + 6 x^{2}$

Bước 3.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $6 x^{2}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + x^{2} \cdot 6$

Bước 3.4

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x)$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$

Bước 3.5

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6)$

Bước 4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ và có tổng là $b = - 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Đưa $- 13$ ra ngoài $- 13 x$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 (x) + 6)$

Bước 4.1.1.2

Viết lại $- 13$ ở dạng $- 1$ cộng $- 12$

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} + (- 1 - 12) x + 6)$

Bước 4.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 1 x - 12 x + 6)$

Bước 4.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x^{2} - 1 x) - 12 x + 6)$

Bước 4.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (x (2 x - 1) - 6 (2 x - 1))$

Bước 4.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 x - 1$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x - 1) (x - 6))$

Bước 4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$

Bước 5

Đưa $2 x - 1$ ra ngoài $32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $2 x - 1$ ra ngoài $32 (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$

Bước 5.2

Đưa $2 x - 1$ ra ngoài $x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$

Bước 5.3

Đưa $2 x - 1$ ra ngoài $(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} (x - 6))$

Bước 6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6)$

Bước 7

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 6)$

Bước 7.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(2 x - 1) (32 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6)$

Bước 7.2

Cộng $2$ và $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} + x^{2} \cdot - 6)$

Bước 8

Di chuyển $- 6$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} - 6 x^{2})$

Bước 9

Sắp xếp lại các số hạng.

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 32)$

Bước 10

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Phân tích $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Bước 10.1.1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Bước 10.1.1.3

Thay $- 2$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $- 2$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1.3.1

Thay $- 2$ vào đa thức.

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Bước 10.1.1.3.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Bước 10.1.1.3.3

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 8 - 6 \cdot 4 + 32$

Bước 10.1.1.3.4

Nhân $- 6$ với $4$ .

$- 8 - 24 + 32$

Bước 10.1.1.3.5

Trừ $24$ khỏi $- 8$ .

$- 32 + 32$

Bước 10.1.1.3.6

Cộng $- 32$ và $32$ .

$0$

Bước 10.1.1.4

Vì $- 2$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x + 2$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 32}{x + 2}$

Bước 10.1.1.5

Chia $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ cho $x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

Bước 10.1.1.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$

Bước 10.1.1.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Bước 10.1.1.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Bước 10.1.1.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Bước 10.1.1.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Bước 10.1.1.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 8 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Bước 10.1.1.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Bước 10.1.1.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 8 x^{2} - 16 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Bước 10.1.1.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

Bước 10.1.1.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Bước 10.1.1.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $16 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Bước 10.1.1.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							+	$16 x$	+	$32$

Bước 10.1.1.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $16 x + 32$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$

Bước 10.1.1.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$
										$0$

Bước 10.1.1.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$x^{2} - 8 x + 16$

Bước 10.1.1.6

Viết $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 16))$

Bước 10.1.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.2.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 4^{2}))$

Bước 10.1.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Bước 10.1.2.3

Viết lại đa thức này.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}))$

Bước 10.1.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 4$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) {(x - 4)}^{2})$

Bước 10.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2}$