Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Bước 1

Sử dụng định lý khai triển nhị thức để tìm từng số hạng. Định lý nhị thức nói rằng ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - k} \cdot {(\cos (x))}^{k}$

Bước 2

Khai triển tổng.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 0} \cdot \cos^{0} (x) + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 1} \cdot \cos^{1} (x) + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 2} \cdot \cos^{2} (x)$

Bước 3

Rút gọn số mũ của mỗi số hạng của tổng đã được khai triển.

$1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Bước 4

Rút gọn kết quả đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ ra ngoài $1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Đưa $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ ra ngoài $1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Bước 4.1.1.2

Đưa $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ ra ngoài $2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Bước 4.1.1.3

Đưa $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ ra ngoài $1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$

Bước 4.1.1.4

Đưa $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ ra ngoài $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$

Bước 4.1.1.5

Đưa $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ ra ngoài $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x) + 1 \cdot \cos^{2} (x))$

Bước 4.1.2

Di chuyển $1 \cdot \cos^{2} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 1 \cdot \cos^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Bước 4.1.3

Đưa $1$ ra ngoài $1 \cdot \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x)) + 1 \cdot \cos^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Bước 4.1.4

Đưa $1$ ra ngoài $1 \cdot \cos^{2} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x)) + 1 (\cos^{2} (x)) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Bước 4.1.5

Đưa $1$ ra ngoài $1 (\sin^{2} (x)) + 1 (\cos^{2} (x))$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Bước 4.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Bước 4.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1 \cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Bước 4.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $\cos^{0} (x)$ với $1$ .

$\cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Bước 4.3.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1 (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Bước 4.3.2.3

Nhân $1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$ với $1$ .

$1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$

Bước 4.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nhân $1$ với $1$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$

Bước 4.3.3.2

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$1 + \sin (2 x)$