Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 5) (x + 15)) = 3$

Bước 1.2

Khai triển $(x - 5) (x + 15)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\log_{5} (x (x + 15) - 5 (x + 15)) = 3$

Bước 1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 (x + 15)) = 3$

Bước 1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Bước 1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Bước 1.3.1.2

Di chuyển $15$ sang phía bên trái của $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 15 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Bước 1.3.1.3

Nhân $- 5$ với $15$ .

$\log_{5} (x^{2} + 15 x - 5 x - 75) = 3$

Bước 1.3.2

Trừ $5 x$ khỏi $15 x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$

Bước 2

Viết lại $\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$5^{3} = x^{2} + 10 x - 75$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$ .

$x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$

Bước 3.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$x^{2} + 10 x - 75 = 125$

Bước 3.3

Trừ $125$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + 10 x - 75 - 125 = 0$

Bước 3.4

Trừ $125$ khỏi $- 75$ .

$x^{2} + 10 x - 200 = 0$

Bước 3.5

Phân tích $x^{2} + 10 x - 200$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 200$ và tổng của chúng là $10$ .

$- 10, 20$

Bước 3.5.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x - 10) (x + 20) = 0$

Bước 3.6

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 20 = 0$

Bước 3.7

Đặt $x - 10$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Đặt $x - 10$ bằng với $0$ .

$x - 10 = 0$

Bước 3.7.2

Cộng $10$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 10$

Bước 3.8

Đặt $x + 20$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Đặt $x + 20$ bằng với $0$ .

$x + 20 = 0$

Bước 3.8.2

Trừ $20$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 20$

Bước 3.9

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 10) (x + 20) = 0$ đúng.

$x = 10, - 20$

Bước 4

Loại bỏ đáp án không làm cho $\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$ đúng.

$x = 10$