Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{4^{y}}{1 + 4^{y}}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$ .

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế với $1 + 4^{y}$ .

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + 4^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

Bước 3.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$4^{y} = x (1 + 4^{y})$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn $x (1 + 4^{y})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4^{y} = x \cdot 1 + x \cdot 4^{y}$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.2.1

Nhân $x$ với $1$ .

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

Bước 3.3.2.1.2.2

Sắp xếp lại $x$ và $4^{y}$ .

$4^{y} = x + 4^{y} \cdot x$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $x + 4^{y} x$ .

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

Bước 3.4.2

Trừ $x \cdot 4^{y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4^{y} - x \cdot 4^{y} = x$

Bước 3.4.3

Đưa $4^{y}$ ra ngoài $4^{y} - x \cdot 4^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Nhân với $1$ .

$4^{y} \cdot 1 - x \cdot 4^{y} = x$

Bước 3.4.3.2

Đưa $4^{y}$ ra ngoài $- x \cdot 4^{y}$ .

$4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x) = x$

Bước 3.4.3.3

Đưa $4^{y}$ ra ngoài $4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x)$ .

$4^{y} (1 - x) = x$

Bước 3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $4^{y} (1 - x) = x$ cho $1 - x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $4^{y} (1 - x) = x$ cho $1 - x$ .

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Bước 3.4.4.2.1.2

Chia $4^{y}$ cho $1$ .

$4^{y} = \frac{x}{1 - x}$

Bước 3.4.5

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (4^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Bước 3.4.6

Khai triển $\ln (4^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Bước 3.4.7

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ cho $\ln (4)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ cho $\ln (4)$ .

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Bước 3.4.7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Bước 3.4.7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{1 - (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})})}{\ln (4)}$

Bước 5.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x}}{1 + 4^{x}} - \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Bước 5.2.3.3

Viết lại $\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1

Trừ $4^{x}$ khỏi $4^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 0}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Bước 5.2.3.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Bước 5.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

Bước 5.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 + 4^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

Bước 5.2.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

Bước 5.2.5

Khai triển $\ln (4^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Bước 5.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Bước 5.2.6.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Sử dụng quy tắc đổi cơ số $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Bước 5.3.3.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Bước 5.3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Sử dụng quy tắc đổi cơ số $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}$

Bước 5.3.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + \frac{x}{1 - x}}$

Bước 5.3.4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}}$

Bước 5.3.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x + x}{1 - x}}$

Bước 5.3.4.5

Viết lại $\frac{1 - x + x}{1 - x}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.5.1

Cộng $- x$ và $x$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 + 0}{1 - x}}$

Bước 5.3.4.5.2

Cộng $1$ và $0$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1}{1 - x}}$

Bước 5.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Bước 5.3.6.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$