Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 4 e^{x}$ , $[- 2, 2]$

Bước 1

Viết $f (x) = 4 e^{x}$ ở dạng một phương trình.

$y = 4 e^{x}$

Bước 2

Thay bằng công thức tốc độ biến thiên trung bình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Có thể tìm tốc độ biến thiên trung bình của một hàm số bằng cách tính sự thay đổi trong giá trị $y$ của hai điểm chia cho sự thay đổi trong giá trị $x$ của hai điểm.

$\frac{f (2) - f (- 2)}{(2) - (- 2)}$

Bước 2.2

Thay phương trình $y = 4 e^{x}$ cho $f (2)$ và $f (- 2)$ , thay $x$ trong hàm bằng giá trị $x$ tương ứng.

$\frac{(4 e^{2}) - (4 e^{- 2})}{(2) - (- 2)}$

Bước 3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Viết lại $4 e^{2}$ ở dạng ${(2 e)}^{2}$ .

$\frac{{(2 e)}^{2} - 1 \cdot 4 e^{- 2}}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.2

Viết lại $4 e^{- 2}$ ở dạng ${(2 e^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{(2 e)}^{2} - {(2 e^{- 1})}^{2}}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2 e$ và $b = 2 e^{- 1}$ .

$\frac{(2 e + 2 e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 e + 2 e^{- 1}$ .

$\frac{2 (e + e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.4.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.4.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.5

Để viết $e$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e}{e}$ .

$\frac{2 (\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 \frac{e e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.7

Nhân $e e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.7.1

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{1} e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.7.2

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.7.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.7.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 \frac{1}{e})}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.8.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e + \frac{- 2}{e})}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.8.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.9

Để viết $2 e$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e}{e}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{2 e e}{e} - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e e - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.11

Nhân $2 e e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.11.1

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.11.2

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e^{1}) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.11.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{1 + 1} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.11.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.12

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.12.1

Kết hợp $2$ và $\frac{e^{2} + 1}{e}$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1)}{e} \cdot \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.12.2

Nhân $\frac{2 (e^{2} + 1)}{e}$ với $\frac{2 e^{2} - 2}{e}$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e e}}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.12.3

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e}}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.12.4

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e^{1}}}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.12.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1 + 1}}}{2 - (- 2)}$

Bước 3.1.12.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 - (- 2)}$

Bước 3.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 + 2}$

Bước 3.2.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{4}$

Bước 3.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{4}$

Bước 3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1}{e^{2} \cdot 4}$

Bước 3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 4}$

Bước 3.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $e^{2} \cdot 4$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

Bước 3.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

Bước 3.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

Bước 3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2 e^{2} - 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 2}$

Bước 3.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $e^{2} \cdot 2$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

Bước 3.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

Bước 3.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1}{e^{2}}$

Bước 3.4.4

Nhân $e^{2} + 1$ với $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1)}{e^{2}}$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})}{e^{2}}$

Bước 3.5.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = e$ và $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}$