Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{10 - 6 x^{2}}{5 + 3 e^{x}}$

Bước 1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to \infty} 10 - 6 x^{2}}{lim_{x \to \infty} 5 + 3 e^{x}}$

Bước 1.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Sắp xếp lại $10$ và $- 6 x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 6 x^{2} + 10}{lim_{x \to \infty} 5 + 3 e^{x}}$

Bước 1.1.2.2

Giới hạn tại vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất âm là vô cực âm.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 5 + 3 e^{x}}$

Bước 1.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

Bước 1.1.3.1.2

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{- \infty}{5 + lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

Bước 1.1.3.2

Vì hàm số $e^{x}$ tiến dần đến $\infty$ , hằng số dương $3$ nhân với hàm số tiến dần đến $\infty$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Xét giới hạn với bội số không đổi $3$ đã bị loại bỏ.

$\frac{- \infty}{5 + lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Bước 1.1.3.2.2

Vì số mũ $x$ tiến dần đến $\infty$ , nên số lượng $e^{x}$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{- \infty}{5 + \infty}$

Bước 1.1.3.3

Vô cùng cộng hoặc trừ một số là vô cùng.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Bước 1.1.3.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{- \infty}{\infty}$

Bước 1.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{- \infty}{\infty}$

Bước 1.2

Vì $\frac{- \infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 - 6 x^{2}}{5 + 3 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [10 - 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [10 - 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Bước 1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $10 - 6 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Bước 1.3.3

Vì $10$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $10$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Bước 1.3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x^{2}$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Bước 1.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 6 (2 x)}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Bước 1.3.4.3

Nhân $2$ với $- 6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 12 x}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Bước 1.3.5

Trừ $12 x$ khỏi $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Bước 1.3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 + 3 e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]}$

Bước 1.3.7

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]}$

Bước 1.3.8

Tính $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.8.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 e^{x}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Bước 1.3.8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{0 + 3 e^{x}}$

Bước 1.3.9

Cộng $0$ và $3 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{3 e^{x}}$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 12 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 4 x)}{3 e^{x}}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 4 x)}{3 (e^{x})}$

Bước 1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 4 x)}{3 e^{x}}$

Bước 1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{e^{x}}$

Bước 2

Chuyển số hạng $- 4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$- 4 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Bước 3.1.2

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$- 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Bước 3.1.3

Vì số mũ $x$ tiến dần đến $\infty$ , nên số lượng $e^{x}$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 4 \frac{\infty}{\infty}$

Bước 3.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$- 4 \frac{\infty}{\infty}$

Bước 3.2

Vì $\frac{\infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Bước 4

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{e^{x}}$ tiến dần đến $0$ .

$- 4 \cdot 0$

Bước 5

Nhân $- 4$ với $0$ .

$0$