Giải tích Ví dụ

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} [(- \sec (x)) - (- 2)] d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} (- \sec (x)) - (- 2) d x$

Bước 2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec (x) + 2 d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

Bước 5

Tích phân của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + 2 x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ tại $\frac{π}{3}$ và tại $- \frac{π}{3}$ .

$- ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + 2 x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Bước 7.1.2

Tính $2 x$ tại $\frac{π}{3}$ và tại $- \frac{π}{3}$ .

$- ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + (2 \frac{π}{3}) - 2 (- \frac{π}{3})$

Bước 7.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{π}{3}$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} - 2 (- \frac{π}{3})$

Bước 7.1.3.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} + 2 \frac{π}{3}$

Bước 7.1.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{π}{3}$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} + \frac{2 π}{3}$

Bước 7.1.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π + 2 π}{3}$

Bước 7.1.3.5

Cộng $2 π$ và $2 π$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{3})$ là $2$ .

$- (\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

Bước 7.2.2

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{3})$ là $\sqrt{3}$ .

$- (\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

Bước 7.2.3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

$2 + \sqrt{3}$ xấp xỉ $3.7320508$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Bước 7.3.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (\frac{5 π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Bước 7.3.2.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Bước 7.3.2.3

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{3})$ là $2$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Bước 7.3.2.4

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 + \tan (\frac{5 π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Bước 7.3.2.5

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì tang âm trong góc phần tư thứ tư.

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 - \tan (\frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Bước 7.3.2.6

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{3})$ là $\sqrt{3}$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 - \sqrt{3} |}) + \frac{4 π}{3}$

Bước 7.3.2.7

$2 - \sqrt{3}$ xấp xỉ $0.26794919$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + \frac{4 π}{3}$

Bước 7.3.3

Để viết $- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 π}{3}$

Bước 7.3.4

Kết hợp $- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}})$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{4 π}{3}$

Bước 7.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot 3 + 4 π}{3}$

Bước 7.3.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{- 3 \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + 4 π}{3}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{- 3 \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + 4 π}{3}$

Dạng thập phân:

$1.55487441 \dots$