Giải tích Ví dụ

$\arcsin (x) = \ln (y)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\arcsin (x)) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Bước 2

Đạo hàm của $\arcsin (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{y}$ và $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{y'}{y}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Bước 5.2

Nhân cả hai vế với $y$ .

$\frac{y'}{y} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y'}{y} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Bước 5.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Rút gọn $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y' = \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} y$

Bước 5.3.2.1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Bước 5.3.2.1.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ với $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Bước 5.3.2.1.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ với $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Bước 5.3.2.1.3.2

Nâng $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Bước 5.3.2.1.3.3

Nâng $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}} y$

Bước 5.3.2.1.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}} y$

Bước 5.3.2.1.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}} y$

Bước 5.3.2.1.3.6

Viết lại ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ ở dạng $(1 + x) (1 - x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ ở dạng ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} y$

Bước 5.3.2.1.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} y$

Bước 5.3.2.1.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} y$

Bước 5.3.2.1.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} y$

Bước 5.3.2.1.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}} y$

Bước 5.3.2.1.3.6.5

Rút gọn.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} y$

Bước 5.3.2.1.4

Kết hợp $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ và $y$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{(1 + x) (1 - x)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{(1 + x) (1 - x)}$