Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - x + 2$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{4} x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{4} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{2} x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.3.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.3.5

Kết hợp $\frac{- 2}{2}$ và $x$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.3.6.2.4

Chia $- x$ cho $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - x - 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - x - 1 + 0$

Bước 1.5.2

Cộng $\frac{3 x^{2}}{4} - x - 1$ và $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - x - 1$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{3 x^{2}}{4} - x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{2}}{4}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\frac{3}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 x^{2}}{4}$ đối với $x$ là $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{4} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{4} x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.2.4

Nhân $2$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{6}{4} x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.2.5

Kết hợp $\frac{6}{4}$ và $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x}{4} + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x)}{4} + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x)}{2 (2)} + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{3 x}{2} - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x}{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x}{2} - 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{3 x}{2} - 1 + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $\frac{3 x}{2} - 1$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{3 x}{2} - 1$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{3 x^{2}}{4} - x - 1 = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{4} x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.2.4

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{2} x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 2 (\frac{1}{2}) \cdot x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.3.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.3.5

Kết hợp $\frac{- 2}{2}$ và $x$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.3.6.2.4

Chia $- x$ cho $1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - x - 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 4.1.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - x - 1 + 0$

Bước 4.1.5.2

Cộng $\frac{3 x^{2}}{4} - x - 1$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - x - 1$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{3 x^{2}}{4} - x - 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - x - 1$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{3 x^{2}}{4} - x - 1 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - x - 1 = 0$

Bước 5.2

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{3 x^{2}}{4} - x - 1 = 0$ với $4$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{3 x^{2}}{4} - x - 1 = 0$ với $4$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} \cdot 4 - x \cdot 4 - 1 \cdot 4 = 0 \cdot 4$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{2}}{4} \cdot 4 - x \cdot 4 - 1 \cdot 4 = 0 \cdot 4$

Bước 5.2.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$3 x^{2} - x \cdot 4 - 1 \cdot 4 = 0 \cdot 4$

Bước 5.2.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$3 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4 = 0 \cdot 4$

Bước 5.2.2.1.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0 \cdot 4$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân $0$ với $4$ .

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Bước 5.3

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ và có tổng là $b = - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Bước 5.3.1.2

Viết lại $- 4$ ở dạng $2$ cộng $- 6$

$3 x^{2} + (2 - 6) x - 4 = 0$

Bước 5.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{2} + 2 x - 6 x - 4 = 0$

Bước 5.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(3 x^{2} + 2 x) - 6 x - 4 = 0$

Bước 5.3.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$x (3 x + 2) - 2 (3 x + 2) = 0$

Bước 5.3.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 2) = 0$

Bước 5.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Bước 5.5

Đặt $3 x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đặt $3 x + 2$ bằng với $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Bước 5.5.2

Giải $3 x + 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x = - 2$

Bước 5.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - 2$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - 2$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Bước 5.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Bước 5.5.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Bước 5.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{2}{3}$

Bước 5.6

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 5.6.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 5.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(3 x + 2) (x - 2) = 0$ đúng.

$x = - \frac{2}{3}, 2$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = - \frac{2}{3}, 2$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - \frac{2}{3}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{3 (- \frac{2}{3})}{2} - 1$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{- 3 (\frac{2}{3})}{2} - 1$

Bước 9.1.1.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{- 3 \cdot 2}{3}}{2} - 1$

Bước 9.1.2

Nhân $- 3$ với $2$ .

$\frac{\frac{- 6}{3}}{2} - 1$

Bước 9.1.3

Chia $- 6$ cho $3$ .

$\frac{- 2}{2} - 1$

Bước 9.1.4

Chia $- 2$ cho $2$ .

$- 1 - 1$

Bước 9.2

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$- 2$

Bước 10

$x = - \frac{2}{3}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - \frac{2}{3}$ là cực đại địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = - \frac{2}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{2}{3}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1}{4} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1}{4} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3}) - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1}{4} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}})) - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{2^{3}}{3^{3}}) - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{8}{3^{3}}) - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{8}{27}) - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{8}{27}$ vào tử số.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{- 8}{27} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.5.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (- 2)}{27} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot - 2}{27} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.5.4

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 2}{27} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.7.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - \frac{1}{2} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.7.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - \frac{1}{2} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.8

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.8.1

Di chuyển ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) \cdot \frac{2^{2}}{3^{2}} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.8.2

Nhân ${(- 1)}^{2}$ với $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.8.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{1}{2})) \cdot \frac{2^{2}}{3^{2}} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.8.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{2^{2}}{3^{2}} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.8.3

Cộng $2$ và $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{2^{2}}{3^{2}} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.9

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{3^{2}} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.10

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{9} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.11

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.12

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.12.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{4}{9} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.12.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{2 (2)}{9} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.12.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{9} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.12.4

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - 1 \cdot \frac{2}{9} - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.13

Viết lại $- 1 (\frac{2}{9})$ ở dạng $- (\frac{2}{9})$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - (\frac{2}{9}) - (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.14

Nhân $- (- \frac{2}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.14.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - \frac{2}{9} + 1 (\frac{2}{3}) + 2$

Bước 11.2.1.14.2

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - \frac{2}{9} + \frac{2}{3} + 2$

Bước 11.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Nhân $\frac{2}{9}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - (\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{2}{3} + 2$

Bước 11.2.2.2

Nhân $\frac{2}{9}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{3} + 2$

Bước 11.2.2.3

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{9} + 2$

Bước 11.2.2.4

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 2$

Bước 11.2.2.5

Viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{2}{1}$

Bước 11.2.2.6

Nhân $\frac{2}{1}$ với $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{2}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Bước 11.2.2.7

Nhân $\frac{2}{1}$ với $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

Bước 11.2.2.8

Sắp xếp lại các thừa số của $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

Bước 11.2.2.9

Nhân $3$ với $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - \frac{2 \cdot 3}{27} + \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

Bước 11.2.2.10

Nhân $3$ với $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{27} - \frac{2 \cdot 3}{27} + \frac{2 \cdot 9}{27} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

Bước 11.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 2 - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 9 + 2 \cdot 27}{27}$

Bước 11.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 2 - 6 + 2 \cdot 9 + 2 \cdot 27}{27}$

Bước 11.2.4.2

Nhân $2$ với $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 2 - 6 + 18 + 2 \cdot 27}{27}$

Bước 11.2.4.3

Nhân $2$ với $27$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 2 - 6 + 18 + 54}{27}$

Bước 11.2.5

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.5.1

Trừ $6$ khỏi $- 2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 + 18 + 54}{27}$

Bước 11.2.5.2

Cộng $- 8$ và $18$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{10 + 54}{27}$

Bước 11.2.5.3

Cộng $10$ và $54$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{64}{27}$

Bước 11.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{64}{27}$ .

$y = \frac{64}{27}$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 2$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{3 (2)}{2} - 1$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6}{2} - 1$

Bước 13.2

Chia $6$ cho $2$ .

$3 - 1$

Bước 13.3

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$2$

Bước 14

$x = 2$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 2$ là cực tiểu địa phương

Bước 15

Tìm giá trị y khi $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot {(2)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(2)}^{2} - (2) + 2$

Bước 15.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot 8 - \frac{1}{2} \cdot {(2)}^{2} - (2) + 2$

Bước 15.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot (4 (2)) - \frac{1}{2} \cdot {(2)}^{2} - (2) + 2$

Bước 15.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 2) - \frac{1}{2} \cdot {(2)}^{2} - (2) + 2$

Bước 15.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (2) = 2 - \frac{1}{2} \cdot {(2)}^{2} - (2) + 2$

Bước 15.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$f (2) = 2 + \frac{- 1}{2} \cdot {(2)}^{2} - (2) + 2$

Bước 15.2.1.3.2

Đưa $2$ ra ngoài ${(2)}^{2}$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - (2) + 2$

Bước 15.2.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2) = 2 + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - (2) + 2$

Bước 15.2.1.3.4

Viết lại biểu thức.

$f (2) = 2 - 1 \cdot 2 - (2) + 2$

Bước 15.2.1.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (2) = 2 - 2 - (2) + 2$

Bước 15.2.1.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (2) = 2 - 2 - 2 + 2$

Bước 15.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.2.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f (2) = 0 - 2 + 2$

Bước 15.2.2.2

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$f (2) = - 2 + 2$

Bước 15.2.2.3

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f (2) = 0$

Bước 15.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$y = 0$

Bước 16

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - x + 2$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{64}{27})$ là một cực đại địa phuơng

$(2, 0)$ là một cực tiểu địa phương

Bước 17