Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{4} - x}}{2 x^{2} + 3}$

Bước 1

Đưa $x$ ra ngoài $4 x^{4} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $x$ ra ngoài $4 x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (4 x^{3}) - x}}{2 x^{2} + 3}$

Bước 1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (4 x^{3}) + x \cdot - 1}}{2 x^{2} + 3}$

Bước 1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (4 x^{3}) + x \cdot - 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (4 x^{3} - 1)}}{2 x^{2} + 3}$

Bước 2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $- \sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (4 x^{3} - 1)}{x^{4}}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (4 x^{3} - 1)}{x^{4}}}}{2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (4 x^{3} - 1)}{x \cdot x^{3}}}}{2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (4 x^{3} - 1)}{x \cdot x^{3}}}}{2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 4.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{4 x^{3} - 1}{x^{3}}}}{2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x^{3} - 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 5.2

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{4 x^{3} - 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 5.3

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3} - 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 6

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{3}$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 7.1.2

Chia $4$ cho $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 7.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{1}{x^{3}}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 7.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 7.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 7.5

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 8

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 9

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 9.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 9.3

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 0}{1}}}{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Bước 9.4

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 0}{1}}}{2 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 10

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 0}{1}}}{2 + 3 \cdot 0}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Chia $4 - 0$ cho $1$ .

$\frac{- \sqrt{4 - 0}}{2 + 3 \cdot 0}$

Bước 11.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{- \sqrt{4 + 0}}{2 + 3 \cdot 0}$

Bước 11.2.2

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{- \sqrt{4}}{2 + 3 \cdot 0}$

Bước 11.2.3

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{2^{2}}}{2 + 3 \cdot 0}$

Bước 11.2.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{- 1 \cdot 2}{2 + 3 \cdot 0}$

Bước 11.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2 + 0}$

Bước 11.3.2

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Bước 11.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{- 2}{2}$

Bước 11.5

Chia $- 2$ cho $2$ .

$- 1$