Giải tích Ví dụ

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 1

Chia nhỏ tích phân tại $0$ và viết dưới dạng tổng của các giới hạn.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1 + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 3

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x)]_{t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (x)]_{t}^{0} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4

Tính $\arctan (x)$ tại $0$ và tại $t$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 5

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x)]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

Bước 7

Tính $\arctan (x)$ tại $t$ và tại $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Bước 8

Tính các giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $\arctan (0)$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Bước 8.3

Giới hạn khi $t$ tiến về $- \infty$ là bằng $- \frac{π}{2}$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Bước 8.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Bước 8.5

Giới hạn khi $t$ tiến về $\infty$ là bằng $\frac{π}{2}$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Bước 8.6

Tính giới hạn của $\arctan (0)$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Bước 8.7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.1.1

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$0 + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Bước 8.7.1.2

Nhân $\frac{π}{2}$ với $1$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Bước 8.7.1.3

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - 0$

Bước 8.7.1.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} + 0$

Bước 8.7.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π + π}{2}$

Bước 8.7.3

Cộng $π$ và $π$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 8.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 8.7.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$π$

Dạng thập phân:

$3.14159265 \dots$