Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{6} [5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5}] d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{0}^{6} 5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{6} 5 \cdot 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Bước 3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int_{0}^{6} 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Bước 4

Giả sử $u = - \frac{x}{3}$ . Sau đó $d u = - \frac{1}{3} d x$ , nên $- 3 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = - \frac{x}{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $- \frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

Bước 4.1.2

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x}{3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = - \frac{0}{3}$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia $0$ cho $3$ .

$u_{lower} = - 0$

Bước 4.3.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = - \frac{6}{3}$

Bước 4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Chia $6$ cho $3$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Bước 4.5.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Bước 5.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{3}$ .

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot (1 \cdot 3) d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Bước 5.3

Nhân $3$ với $1$ .

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot 3 d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Bước 5.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$5 \int_{0}^{- 2} - 3 \cdot 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Bước 6

Vì $- 3$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$5 (- 3 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Bước 7

Nhân $- 3$ với $5$ .

$- 15 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Bước 8

Tích phân của $2^{u}$ đối với $u$ là $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \int_{0}^{6} \frac{x}{5} d x$

Bước 10

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - (\frac{1}{5} \int_{0}^{6} x d x)$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Bước 12

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ tại $- 2$ và tại $0$ .

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Bước 12.2

Tính $\frac{1}{2} x^{2}$ tại $6$ và tại $0$ .

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 12.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 (\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 12.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 15 (\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 12.3.3

Viết lại $\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)}$ ở dạng một tích.

$- 15 (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 12.3.4

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 12.3.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 12.3.6

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \cdot 36 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 12.3.7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $36$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{36}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 12.3.8

Triệt tiêu thừa số chung của $36$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $36$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 12.3.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 12.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 12.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{18}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 12.3.8.2.4

Chia $18$ cho $1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 12.3.9

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Bước 12.3.10

Nhân $0$ với $- 1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0 (\frac{1}{2}))$

Bước 12.3.11

Nhân $0$ với $\frac{1}{2}$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0)$

Bước 12.3.12

Cộng $18$ và $0$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \cdot 18$

Bước 12.3.13

Nhân $18$ với $- 1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - 18 (\frac{1}{5})$

Bước 12.3.14

Kết hợp $- 18$ và $\frac{1}{5}$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) + \frac{- 18}{5}$

Bước 12.3.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

Bước 13

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 15 \frac{1}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

Bước 13.2

Kết hợp $- 15$ và $\frac{1}{4 \ln (2)}$ .

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

Bước 13.3

Nhân $- 15 (- \frac{1}{\ln (2)})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Nhân $- 1$ với $- 15$ .

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + 15 \frac{1}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Bước 13.3.2

Kết hợp $15$ và $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Bước 13.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Dạng thập phân:

$12.63031921 \dots$

Bước 15