Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0^{+}} {(1 + x)}^{\cot (x)}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(1 + x)}^{\cot (x)}$ ở dạng $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ bằng cách di chuyển $\cot (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$

Bước 2

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + x)}$

Bước 3

Viết lại $\cot (x) \ln (1 + x)$ ở dạng $\frac{\ln (1 + x)}{\frac{1}{\cot (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x)}{\frac{1}{\cot (x)}}}$

Bước 4

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 + x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Bước 4.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Bước 4.1.2.1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Bước 4.1.2.1.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Bước 4.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Bước 4.1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1

Cộng $1$ và $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Bước 4.1.2.3.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Bước 4.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1.1

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}}$

Bước 4.1.3.1.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Bước 4.1.3.1.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}}$

Bước 4.1.3.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì tang liên tục.

$e^{\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Bước 4.1.3.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{\frac{0}{\tan (0)}}$

Bước 4.1.3.4

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Bước 4.1.3.5

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$e^{\frac{0}{0}}$

Bước 4.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$e^{\frac{0}{0}}$

Bước 4.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x)}{\frac{1}{\cot (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 1 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Bước 4.3.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Bước 4.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Bước 4.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Bước 4.3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Bước 4.3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Bước 4.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Bước 4.3.7

Nhân $\frac{1}{1 + x}$ với $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Bước 4.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Bước 4.3.9

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}]}}$

Bước 4.3.10

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Bước 4.3.11

Viết $1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Bước 4.3.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.12.1

Viết lại biểu thức.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Bước 4.3.12.2

Nhân $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ với $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Bước 4.3.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Bước 4.3.14

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Bước 4.3.15

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Bước 4.3.16

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Bước 4.3.17

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Bước 4.3.18

Cộng $1$ và $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Bước 4.3.19

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Bước 4.3.20

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Bước 4.3.21

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Bước 4.3.22

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Bước 4.3.23

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Bước 4.3.24

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}}}$

Bước 4.3.25

Cộng $1$ và $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Bước 4.3.26

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.26.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Bước 4.3.26.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}}$

Bước 4.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x + 1} \cos^{2} (x)}$

Bước 4.5

Kết hợp $\frac{1}{x + 1}$ và $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos^{2} (x)}{x + 1}}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Bước 5.2

Đưa số mũ $2$ từ $\cos^{2} (x)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$e^{\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Bước 5.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$e^{\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Bước 5.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

Bước 5.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Bước 6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (0)}{0 + 1}}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$e^{\frac{1^{2}}{0 + 1}}$

Bước 7.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$e^{\frac{1}{0 + 1}}$

Bước 7.2

Cộng $0$ và $1$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Bước 7.3

Chia $1$ cho $1$ .

$e^{1}$

Bước 8

Rút gọn.

$e$