Giải tích Ví dụ

$y = \cot^{2} (\cos (θ))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = θ^{2}$ và $g (θ) = \cot (\cos (θ))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cot (\cos (θ))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cot (\cos (θ))$ .

$2 \cot (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = \cot (θ)$ và $g (θ) = \cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\cos (θ)$ .

$2 \cot (\cos (θ)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\cot (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\cos (θ)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (θ)$ .

$2 \cot (\cos (θ)) (- \csc^{2} (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Bước 3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \cot (\cos (θ)) (\csc^{2} (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Bước 4

Đạo hàm của $\cos (θ)$ đối với $θ$ là $- \sin (θ)$ .

$- 2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) (- \sin (θ))$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ)$ .

$2 \csc^{2} (\cos (θ)) \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

Bước 6.2

Viết lại $\csc (\cos (θ))$ theo sin và cosin.

$2 {(\frac{1}{\sin (\cos (θ))})}^{2} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

Bước 6.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

Bước 6.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 \frac{1}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

Bước 6.5

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{\sin^{2} (\cos (θ))}$ .

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

Bước 6.6

Viết lại $\cot (\cos (θ))$ theo sin và cosin.

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cdot \frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))} \sin (θ)$

Bước 6.7

Kết hợp.

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{2} (\cos (θ)) \sin (\cos (θ))} \sin (θ)$

Bước 6.8

Nhân $\sin^{2} (\cos (θ))$ với $\sin (\cos (θ))$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Nhân $\sin^{2} (\cos (θ))$ với $\sin (\cos (θ))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1.1

Nâng $\sin (\cos (θ))$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{2} (\cos (θ)) \sin^{1} (\cos (θ))} \sin (θ)$

Bước 6.8.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{{\sin (\cos (θ))}^{2 + 1}} \sin (θ)$

Bước 6.8.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{3} (\cos (θ))} \sin (θ)$

Bước 6.9

Kết hợp $\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{3} (\cos (θ))}$ và $\sin (θ)$ .

$\frac{2 \cos (\cos (θ)) \sin (θ)}{\sin^{3} (\cos (θ))}$

Bước 6.10

Đưa $\sin (\cos (θ))$ ra ngoài $\sin^{3} (\cos (θ))$ .

$\frac{2 \cos (\cos (θ)) \sin (θ)}{\sin (\cos (θ)) \sin^{2} (\cos (θ))}$

Bước 6.11

Tách các phân số.

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cdot \frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))}$

Bước 6.12

Quy đổi từ $\frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))}$ sang $\cot (\cos (θ))$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

Bước 6.13

Đưa $\sin (\cos (θ))$ ra ngoài $\sin^{2} (\cos (θ))$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin (\cos (θ)) \sin (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

Bước 6.14

Tách các phân số.

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

Bước 6.15

Viết lại $\frac{\sin (θ)}{\sin (\cos (θ))}$ ở dạng một tích.

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

Bước 6.16

Viết $\sin (θ)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

Bước 6.17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.17.1

Chia $\sin (θ)$ cho $1$ .

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

Bước 6.17.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ sang $\csc (\cos (θ))$ .

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

Bước 6.18

Tách các phân số.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

Bước 6.19

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ sang $\csc (\cos (θ))$ .

$\frac{2}{1} \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

Bước 6.20

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

Bước 6.21

Nhân $2 \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ)))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.21.1

Nâng $\csc (\cos (θ))$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\csc^{1} (\cos (θ)) \csc (\cos (θ))) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

Bước 6.21.2

Nâng $\csc (\cos (θ))$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\csc^{1} (\cos (θ)) \csc^{1} (\cos (θ))) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

Bước 6.21.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 {\csc (\cos (θ))}^{1 + 1} \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

Bước 6.21.4

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$