Giải tích Ví dụ

$x^{y} = y^{x}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (y^{x})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lấy đạo hàm bằng cách dùng công thức đạo hàm hàm lũy thừa, công thức phát biểu rằng $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ bằng $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ khi $f = x$ và $g = y$ .

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Bước 2.2.2

Nhân $y$ với $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ .

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy đạo hàm bằng cách dùng công thức đạo hàm hàm lũy thừa, công thức phát biểu rằng $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ bằng $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ khi $f = y$ và $g = x$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$y' (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + 1 (y^{x} \ln (y))$

Bước 3.4

Nhân $y^{x}$ với $1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + y^{x} \ln (y)$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$

Bước 3.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$ .

$x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y)$ .

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $- y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$ .

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y)$ .

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

Bước 5.5

Trừ $x y' y^{x - 1}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1}$

Bước 5.6

Cộng $\ln (y) y^{x}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Bước 5.7

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \ln (x) x^{y}$ .

$y' (\ln (x) x^{y}) - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Bước 5.7.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- x y' y^{x - 1}$ .

$y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Bước 5.7.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1})$ .

$y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Bước 5.8

Chia mỗi số hạng trong $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ cho $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ cho $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ .

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Bước 5.8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Bước 5.8.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Bước 5.8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Bước 5.8.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y x^{y - 1}$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Bước 5.8.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $\ln (y) y^{x}$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Bước 5.8.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Bước 5.8.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.5.1

Viết lại $- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ ở dạng $- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ .

$y' = \frac{- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Bước 5.8.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$