Giải tích Ví dụ

$y = 5 - x^{2}$ , $[- 3, 2]$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$5 - x^{2} = 0$

Bước 1.2

Giải $5 - x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} = - 5$

Bước 1.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 5$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 5$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Bước 1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Bước 1.2.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

Bước 1.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Chia $- 5$ cho $- 1$ .

$x^{2} = 5$

Bước 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Bước 1.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt{5}$

Bước 1.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt{5}$

Bước 1.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Bước 1.3

Thay $\sqrt{5}$ bằng $x$ .

$y = 0$

Bước 1.4

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(\sqrt{5}, 0)$

$(- \sqrt{5}, 0)$

$(\sqrt{5}, 0)$

$(- \sqrt{5}, 0)$

Bước 2

Sắp xếp lại $5$ và $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 5$

Bước 3

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} 0 d x - \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - x^{2} + 5 d x$

Bước 4

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- 3$ và $- \sqrt{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} 0 - (- x^{2} + 5) d x$

Bước 4.2

Trừ $- x^{2} + 5$ khỏi $0$ .

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - (- x^{2} + 5) d x$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} - 1 \cdot 5 d x$

Bước 4.4

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} - 5 d x$

Bước 4.5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} d x + \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - 5 d x$

Bước 4.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}} + \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - 5 d x$

Bước 4.7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}} + - 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$

Bước 4.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Kết hợp $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$ và $- 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$

Bước 4.8.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.2.1

Tính $\frac{1}{3} x^{3} - 5 x$ tại $- \sqrt{5}$ và tại $- 3$ .

$(\frac{1}{3} {(- \sqrt{5})}^{3} - 5 (- \sqrt{5})) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Bước 4.8.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.2.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{5}$ .

$\frac{1}{3} {(- (\sqrt{5}))}^{3} - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Bước 4.8.2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- (\sqrt{5})$ .

$\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Bước 4.8.2.2.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{3} (- {\sqrt{5}}^{3}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Bước 4.8.2.2.4

Viết lại ${\sqrt{5}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{5^{3}}$ .

$\frac{1}{3} (- \sqrt{5^{3}}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Bước 4.8.2.2.5

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{3} (- \sqrt{125}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Bước 4.8.2.2.6

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\sqrt{125}$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Bước 4.8.2.2.7

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Bước 4.8.2.2.8

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{1}{3} \cdot - 27 - 5 \cdot - 3)$

Bước 4.8.2.2.9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 27$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{- 27}{3} - 5 \cdot - 3)$

Bước 4.8.2.2.10

Triệt tiêu thừa số chung của $- 27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.2.2.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 27$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3} - 5 \cdot - 3)$

Bước 4.8.2.2.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.2.2.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} - 5 \cdot - 3)$

Bước 4.8.2.2.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} - 5 \cdot - 3)$

Bước 4.8.2.2.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{- 9}{1} - 5 \cdot - 3)$

Bước 4.8.2.2.10.2.4

Chia $- 9$ cho $1$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (- 9 - 5 \cdot - 3)$

Bước 4.8.2.2.11

Nhân $- 5$ với $- 3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (- 9 + 15)$

Bước 4.8.2.2.12

Cộng $- 9$ và $15$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 6$

Bước 4.8.2.2.13

Nhân $- 1$ với $6$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Bước 4.8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.3.1

Viết lại $125$ ở dạng $5^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.3.1.1

Đưa $25$ ra ngoài $125$ .

$- \frac{\sqrt{25 (5)}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Bước 4.8.3.1.2

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Bước 4.8.3.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Bước 4.8.3.3

Để viết $5 \sqrt{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} \cdot \frac{3}{3} - 6$

Bước 4.8.3.4

Kết hợp $5 \sqrt{5}$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - 6$

Bước 4.8.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - 6$

Bước 4.8.3.6

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{- 5 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5}}{3} - 6$

Bước 4.8.3.7

Cộng $- 5 \sqrt{5}$ và $15 \sqrt{5}$ .

$\frac{10 \sqrt{5}}{3} - 6$

Bước 5

$A r e a = \int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 d x - \int_{- \sqrt{5}}^{2} 0 d x$

Bước 6

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- \sqrt{5}$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 - (0) d x$

Bước 6.2

Trừ $0$ khỏi $- x^{2} + 5$ .

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 d x$

Bước 6.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Bước 6.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{- \sqrt{5}}^{2} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Bước 6.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Bước 6.6

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Bước 6.7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + 5 x]_{- \sqrt{5}}^{2}$

Bước 6.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $2$ và tại $- \sqrt{5}$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 x]_{- \sqrt{5}}^{2}$

Bước 6.8.1.2

Tính $5 x$ tại $2$ và tại $- \sqrt{5}$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Bước 6.8.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Bước 6.8.1.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{5}$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- (\sqrt{5}))}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Bước 6.8.1.3.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $- (\sqrt{5})$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Bước 6.8.1.3.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- {\sqrt{5}}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Bước 6.8.1.3.5

Viết lại ${\sqrt{5}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{5^{3}}$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- \sqrt{5^{3}}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Bước 6.8.1.3.6

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- \sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Bước 6.8.1.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Bước 6.8.1.3.8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- (\frac{8}{3} + 1 \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Bước 6.8.1.3.9

Nhân $\frac{\sqrt{125}}{3}$ với $1$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Bước 6.8.1.3.10

Nhân $5$ với $2$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 10 - 5 (- \sqrt{5})$

Bước 6.8.1.3.11

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Bước 6.8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.1

Viết lại $125$ ở dạng $5^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.1.1

Đưa $25$ ra ngoài $125$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{25 (5)}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Bước 6.8.2.1.2

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Bước 6.8.2.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$- (\frac{8}{3} + \frac{5 \sqrt{5}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Bước 6.8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{8}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 10 + 5 \sqrt{5}$

Bước 6.8.3.2

Để viết $10$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Bước 6.8.3.3

Kết hợp $10$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Bước 6.8.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 8 + 10 \cdot 3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Bước 6.8.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.3.5.1

Nhân $10$ với $3$ .

$\frac{- 8 + 30}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Bước 6.8.3.5.2

Cộng $- 8$ và $30$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Bước 6.8.3.6

Để viết $5 \sqrt{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 6.8.3.7

Kết hợp $5 \sqrt{5}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Bước 6.8.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{22}{3} + \frac{- 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Bước 6.8.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{22 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Bước 6.8.3.10

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{22 - 5 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5}}{3}$

Bước 6.8.3.11

Cộng $- 5 \sqrt{5}$ và $15 \sqrt{5}$ .

$\frac{22 + 10 \sqrt{5}}{3}$

Bước 7

Cộng các diện tích $\frac{10 \sqrt{5}}{3} - 6 + \frac{22 + 10 \sqrt{5}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 6 + \frac{10 \sqrt{5} + 22 + 10 \sqrt{5}}{3}$

Bước 7.2

Cộng $10 \sqrt{5}$ và $10 \sqrt{5}$ .

$- 6 + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Bước 7.3

Để viết $- 6$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- 6 \cdot \frac{3}{3} + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Bước 7.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Kết hợp $- 6$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 6 \cdot 3}{3} + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Bước 7.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 6 \cdot 3 + 22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Bước 7.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Nhân $- 6$ với $3$ .

$\frac{- 18 + 22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Bước 7.5.2

Cộng $- 18$ và $22$ .

$\frac{4 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{4 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Dạng thập phân:

$16.24045318 \dots$

Bước 9