Giải tích Ví dụ

$y = 144 - x^{2}$ ; $[- 12, 12]$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$144 - x^{2} = 0$

Bước 1.2

Giải $144 - x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Trừ $144$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} = - 144$

Bước 1.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 144$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 144$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 144}{- 1}$

Bước 1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 144}{- 1}$

Bước 1.2.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 144}{- 1}$

Bước 1.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Chia $- 144$ cho $- 1$ .

$x^{2} = 144$

Bước 1.2.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{144}$

Bước 1.2.4

Rút gọn $\pm \sqrt{144}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Viết lại $144$ ở dạng $12^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{12^{2}}$

Bước 1.2.4.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 12$

Bước 1.2.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 12$

Bước 1.2.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 12$

Bước 1.2.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 12, - 12$

Bước 1.3

Thay $12$ bằng $x$ .

$y = 0$

Bước 1.4

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(12, 0)$

$(- 12, 0)$

$(12, 0)$

$(- 12, 0)$

Bước 2

Sắp xếp lại $144$ và $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 144$

Bước 3

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{- 12}^{12} - x^{2} + 144 d x - \int_{- 12}^{12} 0 d x$

Bước 4

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- 12$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- 12}^{12} - x^{2} + 144 - (0) d x$

Bước 4.2

Trừ $0$ khỏi $- x^{2} + 144$ .

$\int_{- 12}^{12} - x^{2} + 144 d x$

Bước 4.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 12}^{12} - x^{2} d x + \int_{- 12}^{12} 144 d x$

Bước 4.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{- 12}^{12} x^{2} d x + \int_{- 12}^{12} 144 d x$

Bước 4.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 12}^{12}) + \int_{- 12}^{12} 144 d x$

Bước 4.6

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 12}^{12}) + \int_{- 12}^{12} 144 d x$

Bước 4.7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 12}^{12}) + 144 x]_{- 12}^{12}$

Bước 4.8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $12$ và tại $- 12$ .

$- ((\frac{12^{3}}{3}) - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 x]_{- 12}^{12}$

Bước 4.8.2

Tính $144 x$ tại $12$ và tại $- 12$ .

$- (\frac{12^{3}}{3} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Bước 4.8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.3.1

Nâng $12$ lên lũy thừa $3$ .

$- (\frac{1728}{3} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Bước 4.8.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $1728$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $1728$ .

$- (\frac{3 \cdot 576}{3} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Bước 4.8.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.3.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 576}{3 (1)} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Bước 4.8.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (\frac{3 \cdot 576}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Bước 4.8.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- (\frac{576}{1} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Bước 4.8.3.2.2.4

Chia $576$ cho $1$ .

$- (576 - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Bước 4.8.3.3

Nâng $- 12$ lên lũy thừa $3$ .

$- (576 - \frac{- 1728}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Bước 4.8.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 1728$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.3.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 1728$ .

$- (576 - \frac{3 \cdot - 576}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Bước 4.8.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.3.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- (576 - \frac{3 \cdot - 576}{3 (1)}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Bước 4.8.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (576 - \frac{3 \cdot - 576}{3 \cdot 1}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Bước 4.8.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$- (576 - \frac{- 576}{1}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Bước 4.8.3.4.2.4

Chia $- 576$ cho $1$ .

$- (576 - - 576) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Bước 4.8.3.5

Nhân $- 1$ với $- 576$ .

$- (576 + 576) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Bước 4.8.3.6

Cộng $576$ và $576$ .

$- 1 \cdot 1152 + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Bước 4.8.3.7

Nhân $- 1$ với $1152$ .

$- 1152 + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Bước 4.8.3.8

Nhân $144$ với $12$ .

$- 1152 + 1728 - 144 \cdot - 12$

Bước 4.8.3.9

Nhân $- 144$ với $- 12$ .

$- 1152 + 1728 + 1728$

Bước 4.8.3.10

Cộng $1728$ và $1728$ .

$- 1152 + 3456$

Bước 4.8.3.11

Cộng $- 1152$ và $3456$ .

$2304$

Bước 5