Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ ; $[1, 4]$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$

Bước 1.2

Giải $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$4, 8 x^{2}, 1 + y = 0$

Bước 1.2.1.2

Since $4, 8 x^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 8, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}$ .

Bước 1.2.1.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

$1$ Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

Bước 1.2.1.4

$4$ có các thừa số là $2$ và $2$ .

$2 \cdot 2 + y = 0$

Bước 1.2.1.5

Các thừa số nguyên tố cho $8$ là $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.5.1

$8$ có các thừa số là $2$ và $4$ .

$2 \cdot 4$

Bước 1.2.1.5.2

$4$ có các thừa số là $2$ và $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

Bước 1.2.1.6

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Not $p r i m e + y = 0$

Bước 1.2.1.7

BCNN của $4, 8, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

Bước 1.2.1.8

Nhân $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.8.1

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \cdot 2 + y = 0$

Bước 1.2.1.8.2

Nhân $4$ với $2$ .

$8 + y = 0$

Bước 1.2.1.9

Các thừa số cho $x^{2}$ là $x \cdot x$ , chính là $x$ nhân với nhau $2$ lần.

$x^{2} = x \cdot x$

Bước 1.2.1.10

BCNN của $x^{2}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$x \cdot x + y = 0$

Bước 1.2.1.11

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} + y = 0$

Bước 1.2.1.12

BCNN cho $4, 8 x^{2}, 1$ là phần số $8$ nhân với phần biến.

$8 x^{2} + y = 0$

Bước 1.2.2

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ với $8 x^{2}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ với $8 x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} (8 x^{2}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Bước 1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$8 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Bước 1.2.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$4 (2) \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Bước 1.2.2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \cdot 2 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Bước 1.2.2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 x^{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Bước 1.2.2.2.1.3

Nhân $x^{4}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.3.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x^{4}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Bước 1.2.2.2.1.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x^{2 + 4} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Bước 1.2.2.2.1.3.3

Cộng $2$ và $4$ .

$2 x^{6} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Bước 1.2.2.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Bước 1.2.2.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.5.1

Đưa $8$ ra ngoài $8 x^{2}$ .

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 (x^{2})} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Bước 1.2.2.2.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Bước 1.2.2.2.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Bước 1.2.2.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Bước 1.2.2.2.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$2 x^{6} + 1 = 0 (8 x^{2})$

Bước 1.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Nhân $0 (8 x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1.1

Nhân $8$ với $0$ .

$2 x^{6} + 1 = 0 x^{2}$

Bước 1.2.2.3.1.2

Nhân $0$ với $x^{2}$ .

$2 x^{6} + 1 = 0$

Bước 1.2.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x^{6} = - 1$

Bước 1.2.3.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x^{6} = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x^{6} = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 1.2.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 1.2.3.2.2.1.2

Chia $x^{6}$ cho $1$ .

$x^{6} = \frac{- 1}{2}$

Bước 1.2.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x^{6} = - \frac{1}{2}$

Bước 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$

Bước 1.2.3.4

Rút gọn $\pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.4.1

Viết lại $- \frac{1}{2}$ ở dạng $i^{6} \frac{1^{6}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.4.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $i^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1}{2}}$

Bước 1.2.3.4.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1^{6}}{2}}$

Bước 1.2.3.4.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1^{6}}{2}}$

Bước 1.2.3.4.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1}{2}}$

Bước 1.2.3.4.4

Viết lại $\sqrt[6]{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$

Bước 1.2.3.4.5

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt[6]{2}}$

Bước 1.2.3.4.6

Kết hợp $i$ và $\frac{1}{\sqrt[6]{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Bước 1.2.3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Bước 1.2.3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Bước 1.2.3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}, - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Bước 1.3

Thay $\frac{i}{\sqrt[6]{2}}$ bằng $x$ .

$y = 0$

Bước 1.4

Liệt kê tất cả các đáp án.

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x - \int_{1}^{4} 0 d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $1$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} - (0) d x$

Bước 3.2

Trừ $0$ khỏi $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Bước 3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Bước 3.4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{4} x^{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Bước 3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Bước 3.6

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 3.7

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 3.7.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 3.7.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

Bước 3.8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

Bước 3.9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Tính $\frac{1}{5} x^{5}$ tại $4$ và tại $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

Bước 3.9.2

Tính $- x^{- 1}$ tại $4$ và tại $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 4^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Bước 3.9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Bước 3.9.3.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $1024$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Bước 3.9.3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Bước 3.9.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Bước 3.9.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1024 - 1}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Bước 3.9.3.6

Trừ $1$ khỏi $1024$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1023}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Bước 3.9.3.7

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1023}{5}$ .

$\frac{1023}{4 \cdot 5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Bước 3.9.3.8

Nhân $4$ với $5$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Bước 3.9.3.9

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Bước 3.9.3.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1)$

Bước 3.9.3.11

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Bước 3.9.3.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 1 + 4}{4}$

Bước 3.9.3.13

Cộng $- 1$ và $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4}$

Bước 3.9.3.14

Nhân $\frac{1}{8}$ với $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{8 \cdot 4}$

Bước 3.9.3.15

Nhân $8$ với $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{32}$

Bước 3.9.3.16

Để viết $\frac{1023}{20}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32}$

Bước 3.9.3.17

Để viết $\frac{3}{32}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 3.9.3.18

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $160$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.18.1

Nhân $\frac{1023}{20}$ với $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{20 \cdot 8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 3.9.3.18.2

Nhân $20$ với $8$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 3.9.3.18.3

Nhân $\frac{3}{32}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{32 \cdot 5}$

Bước 3.9.3.18.4

Nhân $32$ với $5$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{160}$

Bước 3.9.3.19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1023 \cdot 8 + 3 \cdot 5}{160}$

Bước 3.9.3.20

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.20.1

Nhân $1023$ với $8$ .

$\frac{8184 + 3 \cdot 5}{160}$

Bước 3.9.3.20.2

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{8184 + 15}{160}$

Bước 3.9.3.20.3

Cộng $8184$ và $15$ .

$\frac{8199}{160}$

Bước 4