Giải tích Ví dụ

$y = x^{2} - 3$ , $[0, 6]$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$x^{2} - 3 = 0$

Bước 1.2

Giải $x^{2} - 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 3$

Bước 1.2.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{3}$

Bước 1.2.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt{3}$

Bước 1.2.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt{3}$

Bước 1.2.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Bước 1.3

Thay $\sqrt{3}$ bằng $x$ .

$y = 0$

Bước 1.4

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{0}^{\sqrt{3}} 0 d x - \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} - 3 d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $0$ và $\sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 0 - (x^{2} - 3) d x$

Bước 3.2

Trừ $x^{2} - 3$ khỏi $0$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - (x^{2} - 3) d x$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} + 3 d x$

Bước 3.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Bước 3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Bước 3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Bước 3.7

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Bước 3.8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

Bước 3.9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $\sqrt{3}$ và tại $0$ .

$- ((\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

Bước 3.9.1.2

Tính $3 x$ tại $\sqrt{3}$ và tại $0$ .

$- (\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Bước 3.9.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1.3.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{3^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3^{3}}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Bước 3.9.1.3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Bước 3.9.1.3.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Bước 3.9.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1.3.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Bước 3.9.1.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1.3.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Bước 3.9.1.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Bước 3.9.1.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Bước 3.9.1.3.4.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Bước 3.9.1.3.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} + 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Bước 3.9.1.3.6

Cộng $\frac{\sqrt{27}}{3}$ và $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Bước 3.9.1.3.7

Nhân $- 3$ với $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} + 0$

Bước 3.9.1.3.8

Cộng $3 \sqrt{3}$ và $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Bước 3.9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.1

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.1.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Bước 3.9.2.1.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Bước 3.9.2.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Bước 3.9.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Bước 3.9.2.3.2

Chia $\sqrt{3}$ cho $1$ .

$- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

Bước 3.9.2.4

Cộng $- \sqrt{3}$ và $3 \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3}$

Bước 4

$A r e a = \int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x - \int_{\sqrt{3}}^{6} 0 d x$

Bước 5

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $\sqrt{3}$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 - (0) d x$

Bước 5.2

Trừ $0$ khỏi $x^{2} - 3$ .

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x$

Bước 5.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} d x + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

Bước 5.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

Bước 5.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

Bước 5.6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Kết hợp $\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6}$ và $- 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

Bước 5.6.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Tính $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x$ tại $6$ và tại $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} - 3 \cdot 6) - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.2.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $216$ .

$\frac{216}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $216$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{72}{1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.2.2.3.2.4

Chia $72$ cho $1$ .

$72 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.2.2.4

Nhân $- 3$ với $6$ .

$72 - 18 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.2.2.5

Trừ $18$ khỏi $72$ .

$54 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.2.2.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{3^{3}}$ .

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.2.2.7

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{27} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.2.2.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\sqrt{27}$ .

$54 - (\frac{\sqrt{27}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.3.1

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.3.1.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$54 - (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.3.1.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$54 - (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.3.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.3.3.2

Chia $\sqrt{3}$ cho $1$ .

$54 - (\sqrt{3} - 3 \sqrt{3})$

Bước 5.6.3.4

Trừ $3 \sqrt{3}$ khỏi $\sqrt{3}$ .

$54 - (- 2 \sqrt{3})$

Bước 5.6.3.5

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$54 + 2 \sqrt{3}$

Bước 6

Cộng $2 \sqrt{3}$ và $2 \sqrt{3}$ .

$54 + 4 \sqrt{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$54 + 4 \sqrt{3}$

Dạng thập phân:

$60.92820323 \dots$

Bước 8