Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$ , $y = 0$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

Bước 1.2

Giải $\sqrt{1 - x^{2}} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Bước 1.2.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 - x^{2}}$ ở dạng ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Rút gọn ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 1.2.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 1.2.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Bước 1.2.2.2.1.2

Rút gọn.

$1 - x^{2} = 0^{2}$

Bước 1.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$1 - x^{2} = 0$

Bước 1.2.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} = - 1$

Bước 1.2.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Bước 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Bước 1.2.3.4

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm 1$

Bước 1.2.3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 1$

Bước 1.2.3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 1$

Bước 1.2.3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 1, - 1$

Bước 1.3

Thay $1$ bằng $x$ .

$y = 0$

Bước 1.4

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

Bước 2

Rút gọn $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Bước 2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Bước 3

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} d x - \int_{- 1}^{1} 0 d x$

Bước 4

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- 1$ và $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - (0) d x$

Bước 4.2

Trừ $0$ khỏi $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} d x$

Bước 4.3

Hoàn thành bình phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Khai triển $(1 + x) (1 - x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 (1 - x) + x (1 - x)$

Bước 4.3.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Bước 4.3.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Bước 4.3.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Bước 4.3.1.2.1.2

Nhân $- x$ với $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Bước 4.3.1.2.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$1 - x + x + x (- x)$

Bước 4.3.1.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$1 - x + x - x \cdot x$

Bước 4.3.1.2.1.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x)$

Bước 4.3.1.2.1.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$1 - x + x - x^{2}$

Bước 4.3.1.2.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$1 + 0 - x^{2}$

Bước 4.3.1.2.3

Cộng $1$ và $0$ .

$1 - x^{2}$

Bước 4.3.1.3

Sắp xếp lại $1$ và $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 1$

Bước 4.3.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Bước 4.3.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 4.3.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Bước 4.3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Bước 4.3.4.2.1.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Bước 4.3.4.2.2

Viết lại $- 1 \cdot 0$ ở dạng $- 0$ .

$d = - 0$

Bước 4.3.4.2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$d = 0$

Bước 4.3.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 4.3.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Bước 4.3.5.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Bước 4.3.5.2.1.3

Chia $0$ cho $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Bước 4.3.5.2.1.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e = 1 + 0$

Bước 4.3.5.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$e = 1$

Bước 4.3.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- {(x + 0)}^{2} + 1$ .

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1} d x$

Bước 4.4

Giả sử $u_{1} = x + 0$ . Sau đó $d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Hãy đặt $u_{1} = x + 0$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1

Tính đạo hàm $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Bước 4.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 0$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Bước 4.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Bước 4.4.1.4

Vì $0$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.4.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4.4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = x + 0$ .

$u_{lower} = - 1 + 0$

Bước 4.4.3

Cộng $- 1$ và $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Bước 4.4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = x + 0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Bước 4.4.5

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 4.4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Bước 4.4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$

Bước 4.5

Giả sử $u_{1} = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d u_{1} = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- \sin^{2} (t) + 1} \cos (t) d t$

Bước 4.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Rút gọn $\sqrt{- \sin^{2} (t) + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.1

Sắp xếp lại $- \sin^{2} (t)$ và $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 4.6.1.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 4.6.1.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \cos (t) d t$

Bước 4.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Bước 4.6.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Bước 4.6.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 4.6.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Bước 4.7

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 4.8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 4.9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Bước 4.10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Bước 4.11

Giả sử $u_{2} = 2 t$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 t$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 4.11.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 4.11.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 4.11.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Bước 4.11.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{2}$ vào tử số.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Bước 4.11.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Bước 4.11.3.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = - π$

Bước 4.11.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 4.11.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 4.11.5.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = π$

Bước 4.11.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Bước 4.11.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 4.12

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Bước 4.13

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Bước 4.14

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Bước 4.15

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.15.1

Tính $t$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Bước 4.15.2

Tính $\sin (u_{2})$ tại $π$ và tại $- π$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Bước 4.15.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.15.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Bước 4.15.3.2

Cộng $π$ và $π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Bước 4.15.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.15.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Bước 4.15.3.3.2

Chia $π$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Bước 4.16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.16.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.16.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.16.1.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Bước 4.16.1.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Bước 4.16.1.1.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Bước 4.16.1.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Bước 4.16.1.1.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Bước 4.16.1.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Bước 4.16.1.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $0$ .

$\frac{1}{2} (π + 0)$

Bước 4.16.2

Cộng $π$ và $0$ .

$\frac{1}{2} π$

Bước 4.16.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $π$ .

$\frac{π}{2}$

Bước 5