Giải tích Ví dụ

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1

Viết $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.1.3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.1.3.3

Nhân ${(x^{2} + 1)}^{2}$ với $1$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.1.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.1.5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.1.5.2

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.2.1

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.1.5.2.2

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.1.5.2.3

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.1.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.9

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.10.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.11

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.14

Cộng $1$ và $1$ .

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.15

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.16

Kết hợp $- 2$ và $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.17

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{(2) (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.18.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.18.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.18.2.1

Nhân $- 3$ với $2$ .

$f' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.18.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.18.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 6 x^{2} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.18.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 6 x^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.18.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.18.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)$ .

$f' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.18.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.18.5

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$f' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.18.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$f' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.18.7

Viết lại $- (3 x^{2} - 1)$ ở dạng $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$f' (x) = - \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.18.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.18.9

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f' (x) = 1 (\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Bước 2.1.18.10

Nhân $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Bước 3.2

Cho tử bằng không.

$2 (3 x^{2} - 1) = 0$

Bước 3.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (3 x^{2} - 1) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (3 x^{2} - 1) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.3.1.2.1.2

Chia $3 x^{2} - 1$ cho $1$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{0}{2}$

Bước 3.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

Bước 3.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x^{2} = 1$

Bước 3.3.3

Chia mỗi số hạng trong $3 x^{2} = 1$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x^{2} = 1$ cho $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Bước 3.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Bước 3.3.3.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Bước 3.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Bước 3.3.5

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Bước 3.3.5.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Bước 3.3.5.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 3.3.5.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 3.3.5.4.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Bước 3.3.5.4.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Bước 3.3.5.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 3.3.5.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 3.3.5.4.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.3.5.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.3.5.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.3.5.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.3.5.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Bước 3.3.5.4.6.5

Tính số mũ.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 3.3.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 3.3.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 3.3.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 4

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1.57735026$ trong biểu thức.

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 (3 {(- 1.57735026)}^{2} - 1)}{{({(- 1.57735026)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $- 1.57735026$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 (3 \cdot 2.48803384 - 1)}{{({(- 1.57735026)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 6.2.1.2

Nhân $3$ với $2.48803384$ .

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 (7.46410152 - 1)}{{({(- 1.57735026)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 6.2.1.3

Trừ $1$ khỏi $7.46410152$ .

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{({(- 1.57735026)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nâng $- 1.57735026$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{(2.48803384 + 1)}^{3}}$

Bước 6.2.2.2

Cộng $2.48803384$ và $1$ .

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{3.48803384}^{3}}$

Bước 6.2.2.3

Nâng $3.48803384$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{42.43674549}$

Bước 6.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Nhân $2$ với $6.46410152$ .

$f' (- 1.57735026) = \frac{12.92820305}{42.43674549}$

Bước 6.2.3.2

Chia $12.92820305$ cho $42.43674549$ .

$f' (- 1.57735026) = 0.30464643$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0.30464643$ .

$0.30464643$

Bước 6.3

Tại $x = - 1.57735026$ đạo hàm là $0.30464643$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Tăng trên $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 1)}{{({(0)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 7.2.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$f' (0) = \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 7.2.1.3

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{3}}$

Bước 7.2.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{1^{3}}$

Bước 7.2.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Bước 7.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (0) = \frac{- 2}{1}$

Bước 7.2.3.2

Chia $- 2$ cho $1$ .

$f' (0) = - 2$

Bước 7.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 2$ .

$- 2$

Bước 7.3

Tại $x = 0$ đạo hàm là $- 2$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Giảm trên $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.57735026$ trong biểu thức.

$f' (1.57735026) = \frac{2 (3 {(1.57735026)}^{2} - 1)}{{({(1.57735026)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $1.57735026$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (1.57735026) = \frac{2 (3 \cdot 2.48803384 - 1)}{{({1.57735026}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 8.2.1.2

Nhân $3$ với $2.48803384$ .

$f' (1.57735026) = \frac{2 (7.46410152 - 1)}{{({1.57735026}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 8.2.1.3

Trừ $1$ khỏi $7.46410152$ .

$f' (1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{({1.57735026}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 8.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Nâng $1.57735026$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{(2.48803384 + 1)}^{3}}$

Bước 8.2.2.2

Cộng $2.48803384$ và $1$ .

$f' (1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{3.48803384}^{3}}$

Bước 8.2.2.3

Nâng $3.48803384$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{42.43674549}$

Bước 8.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Nhân $2$ với $6.46410152$ .

$f' (1.57735026) = \frac{12.92820305}{42.43674549}$

Bước 8.2.3.2

Chia $12.92820305$ cho $42.43674549$ .

$f' (1.57735026) = 0.30464643$

Bước 8.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0.30464643$ .

$0.30464643$

Bước 8.3

Tại $x = 1.57735026$ đạo hàm là $0.30464643$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Tăng trên $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 9

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Giảm trên: $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

Bước 10