Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.1.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.1.3.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.1.3.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.1.3.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.1.3.2.2.5

Chia $x$ cho $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Bước 1.1.1.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x \ln (x) + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x \ln (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.2.2.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.2.2.5

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.2.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.2.2.6.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.2.2.7

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Bước 1.1.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Bước 1.1.2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Bước 1.1.2.4.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $2 \ln (x) + 3$ .

$2 \ln (x) + 3$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $2 \ln (x) + 3 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$2 \ln (x) + 3 = 0$

Bước 1.2.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \ln (x) = - 3$

Bước 1.2.3

Chia mỗi số hạng trong $2 \ln (x) = - 3$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \ln (x) = - 3$ cho $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Chia $\ln (x)$ cho $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

Bước 1.2.4

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

Bước 1.2.5

Viết lại $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

Bước 1.2.6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Viết lại phương trình ở dạng $x = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

Bước 1.2.6.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2

Tìm tập xác định của $f (x) = x^{2} \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt giá trị đối số trong $\ln (x)$ lớn hơn $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x > 0$

Bước 2.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x > 0}$

Ký hiệu khoảng:

$(0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x > 0}$

Bước 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.11$ trong biểu thức.

$f'' (0.11) = 2 \ln (0.11) + 3$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn $2 \ln (0.11)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f'' (0.11) = \ln ({0.11}^{2}) + 3$

Bước 4.2.1.2

Nâng $0.11$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (0.11) = \ln (0.0121) + 3$

Bước 4.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (0.0121) + 3$ .

$\ln (0.0121) + 3$

Bước 4.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ vì $f'' (0.11)$ âm.

Lồi trên $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f'' (3) = 2 \ln (3) + 3$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn $2 \ln (3)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f'' (3) = \ln (3^{2}) + 3$

Bước 5.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (3) = \ln (9) + 3$

Bước 5.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (9) + 3$ .

$\ln (9) + 3$

Bước 5.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ vì $f'' (3)$ dương.

Lõm trên $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 6

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lồi trên $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ vì $f'' (x)$ âm

Lõm trên $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 7