Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 8 x + 41$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Bước 1.1.1.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Bước 1.1.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 8 x + 41$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 8 x + 41$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

Bước 1.1.1.2.3

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 8 x$ đối với $x$ là $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))$

Bước 1.1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))$

Bước 1.1.1.2.5

Nhân $- 8$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))$

Bước 1.1.1.2.6

Vì $41$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $41$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + 0)$

Bước 1.1.1.2.7

Cộng $2 x - 8$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8)$

Bước 1.1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} (2 x - 8)$ .

$f' (x) = (2 x - 8) (\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41})$

Bước 1.1.1.3.2

Nhân $2 x - 8$ với $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

Bước 1.1.1.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x) - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

Bước 1.1.1.3.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 8$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 4}{x^{2} - 8 x + 41}$

Bước 1.1.1.3.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41})$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x - 4$ và $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.3

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.4.2

Nhân $x^{2} - 8 x + 41$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 8 x + 41$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.7

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 8 x$ đối với $x$ là $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.9

Nhân $- 8$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.10

Vì $41$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $41$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + 0)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.11.1

Cộng $2 x - 8$ và $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.11.2

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 + (- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.3.1.1

Nhân $- 8$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.1.2

Nhân $2$ với $41$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.1.3

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.1.4

Khai triển $(- x + 4) (2 x - 8)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.3.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x - 8) + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.1.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.1.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.3.1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.3.1.5.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.1.5.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.3.1.5.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.1.5.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.1.5.1.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.1.5.1.4

Nhân $- 8$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.1.5.1.5

Nhân $2$ với $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.1.5.1.6

Nhân $4$ với $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.1.5.2

Cộng $8 x$ và $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 16 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.1.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.3.1.7.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.1.7.2

Nhân $16$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.1.7.3

Nhân $2$ với $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.2

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 16 x + 82 + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.3

Cộng $- 16 x$ và $32 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 82 - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.3.4

Trừ $64$ khỏi $82$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x^{2} + 16 x + 18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.4.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.4.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.4.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.4.1.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x^{2}) + 2 (8 x)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.4.1.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.4.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.4.2.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ và có tổng là $b = 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.4.2.1.1

Đưa $8$ ra ngoài $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.4.2.1.2

Viết lại $8$ ở dạng $- 1$ cộng $9$

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.4.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.4.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.4.2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.4.2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$f'' (x) = \frac{2 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.4.2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((- x - 1) (x - 9))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.6

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.8

Viết lại $- (x + 1)$ ở dạng $- 1 (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.10

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$

Bước 1.2.2

Cho tử bằng không.

$2 (x + 1) (x - 9) = 0$

Bước 1.2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 9 = 0$

Bước 1.2.3.2

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 1.2.3.2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 1.2.3.3

Đặt $x - 9$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Đặt $x - 9$ bằng với $0$ .

$x - 9 = 0$

Bước 1.2.3.3.2

Cộng $9$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 9$

Bước 1.2.3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 (x + 1) (x - 9) = 0$ đúng.

$x = - 1, 9$

Bước 2

Tìm tập xác định của $f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt giá trị đối số trong $\ln (x^{2} - 8 x + 41)$ lớn hơn $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x^{2} - 8 x + 41 > 0$

Bước 2.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

Bước 2.2.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.2.3

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 8$ , và $c = 41$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.1.3

Trừ $164$ khỏi $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.1.4

Viết lại $- 100$ ở dạng $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (100)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.1.7

Viết lại $100$ ở dạng $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.1.9

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Bước 2.2.4.3

Rút gọn $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Bước 2.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.3

Trừ $164$ khỏi $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.4

Viết lại $- 100$ ở dạng $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (100)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.7

Viết lại $100$ ở dạng $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.9

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Bước 2.2.5.3

Rút gọn $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Bước 2.2.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 4 + 5 i$

Bước 2.2.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.2.2

Nhân $- 4$ với $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.3

Trừ $164$ khỏi $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.4

Viết lại $- 100$ ở dạng $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (100)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.7

Viết lại $100$ ở dạng $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.9

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Bước 2.2.6.3

Rút gọn $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Bước 2.2.6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 4 - 5 i$

Bước 2.2.7

Xác định hệ số của số hạng cao nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Số hạng cao nhất trong một đa thức là số hạng với bậc cao nhất.

$x^{2}$

Bước 2.2.7.2

Hệ số cao nhất trong một đa thức là hệ số của số hạng cao nhất.

$1$

Bước 2.2.8

Vì không có hoành độ gốc thực sự nào và hệ số của số hạng cao nhất dương, nên parabol quay mặt lõm lên trên và $x^{2} - 8 x + 41$ luôn lớn hơn $0$ .

Tất cả các số thực

Bước 2.3

Tập xác định là tất cả các số thực.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 9) \cup (9, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, - 1)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f'' (- 4) = - \frac{2 ((- 4) + 1) ((- 4) - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Cộng $- 4$ và $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2 \cdot (- 3 (- 4 - 9))}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Bước 4.2.1.2

Nhân $2$ với $- 3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 (- 4 - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Bước 4.2.1.3

Trừ $9$ khỏi $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Bước 4.2.2.2

Nhân $- 8$ với $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 + 32 + 41)}^{2}}$

Bước 4.2.2.3

Cộng $16$ và $32$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(48 + 41)}^{2}}$

Bước 4.2.2.4

Cộng $48$ và $41$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{89^{2}}$

Bước 4.2.2.5

Nâng $89$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{7921}$

Bước 4.2.3

Nhân $- 6$ với $- 13$ .

$f'' (- 4) = - \frac{78}{7921}$

Bước 4.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{78}{7921}$ .

$- \frac{78}{7921}$

Bước 4.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(- \infty, - 1)$ vì $f'' (- 4)$ âm.

Lồi trên $(- \infty, - 1)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- 1, 9)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = - \frac{2 ((0) + 1) ((0) - 9)}{{({(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Cộng $0$ và $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot (1 (0 - 9))}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 9)}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Bước 5.2.1.3

Trừ $9$ khỏi $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Bước 5.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Bước 5.2.2.2

Nhân $- 8$ với $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 0 + 41)}^{2}}$

Bước 5.2.2.3

Cộng $0$ và $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 41)}^{2}}$

Bước 5.2.2.4

Cộng $0$ và $41$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{41^{2}}$

Bước 5.2.2.5

Nâng $41$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{1681}$

Bước 5.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân $2$ với $- 9$ .

$f'' (0) = - \frac{- 18}{1681}$

Bước 5.2.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (0) = \frac{18}{1681}$

Bước 5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{18}{1681}$ .

$\frac{18}{1681}$

Bước 5.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- 1, 9)$ vì $f'' (0)$ dương.

Lõm trên $(- 1, 9)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 6

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(9, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $12$ trong biểu thức.

$f'' (12) = - \frac{2 ((12) + 1) ((12) - 9)}{{({(12)}^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Cộng $12$ và $1$ .

$f'' (12) = - \frac{2 \cdot (13 (12 - 9))}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Bước 6.2.1.2

Nhân $2$ với $13$ .

$f'' (12) = - \frac{26 (12 - 9)}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Bước 6.2.1.3

Trừ $9$ khỏi $12$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Nhân $- 8$ với $12$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 96 + 41)}^{2}}$

Bước 6.2.2.3

Trừ $96$ khỏi $144$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(48 + 41)}^{2}}$

Bước 6.2.2.4

Cộng $48$ và $41$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{89^{2}}$

Bước 6.2.2.5

Nâng $89$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{7921}$

Bước 6.2.3

Nhân $26$ với $3$ .

$f'' (12) = - \frac{78}{7921}$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{78}{7921}$ .

$- \frac{78}{7921}$

Bước 6.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(9, \infty)$ vì $f'' (12)$ âm.

Lồi trên $(9, \infty)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 7

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lồi trên $(- \infty, - 1)$ vì $f'' (x)$ âm

Lõm trên $(- 1, 9)$ vì $f'' (x)$ dương

Lồi trên $(9, \infty)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 8