Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} x^{3} \ln (x)$

Bước 1

Thay đổi giới hạn hai bên thành giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} x^{3} \ln (x)$

Bước 2

Viết lại $x^{3} \ln (x)$ ở dạng $\frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

Bước 3.1.2

Vì $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, nên $\ln (x)$ giảm không giới hạn.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

Bước 3.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 3.1.3.2

Vì tử số là một hằng số và mẫu số tiến dần đến $0$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến vô cực.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Bước 3.1.3.3

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{- \infty}{\infty}$

Bước 3.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{- \infty}{\infty}$

Bước 3.2

Vì $\frac{- \infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 x^{- 4}}$

Bước 3.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 \frac{1}{x^{4}}}$

Bước 3.3.4.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x^{4}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3}{x^{4}}}$

Bước 3.3.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{3}{x^{4}}}$

Bước 3.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{x^{4}}{3})$

Bước 3.5

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{x^{4}}{3}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{4}}{x \cdot 3}$

Bước 3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{4}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

Bước 3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x (3)}$

Bước 3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

Bước 3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{3}}{3}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{3}}{3}$

Bước 4.2

Chuyển số hạng $\frac{1}{3}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- \frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x^{3}$

Bước 4.3

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$- \frac{1}{3} {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}$

Bước 5

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0$

Bước 6.2

Nhân $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3})$

Bước 6.2.2

Nhân $0$ với $\frac{1}{3}$ .

$0$