Giải tích Ví dụ

${(x^{2} + 2)}^{9}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{9}$ và $g (x) = x^{2} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{9}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 9$ .

$f' (x) = 9 u^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 2)}^{8} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 2)}^{8} (2 x + \frac{d}{d x} (2))$

Bước 1.2.3

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 2)}^{8} (2 x + 0)$

Bước 1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 2)}^{8} (2 x)$

Bước 1.2.4.2

Nhân $2$ với $9$ .

$f' (x) = 18 {(x^{2} + 2)}^{8} x$

Bước 1.2.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $18 {(x^{2} + 2)}^{8} x$ .

$f' (x) = 18 x {(x^{2} + 2)}^{8}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $18$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $18 x {(x^{2} + 2)}^{8}$ đối với $x$ là $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 2)}^{8}]$ .

$f'' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 2)}^{8})$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{8}$ .

$f'' (x) = 18 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{8}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{8}$ và $g (x) = x^{2} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = 18 (x (\frac{d}{d u} (u^{8}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 8$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 u^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 2)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 2)}^{7} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 2)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} (2))) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.4.3

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 2)}^{7} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 2)}^{7} (2 x)) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.4.4.2

Nhân $2$ với $8$ .

$f'' (x) = 18 (x (16 {(x^{2} + 2)}^{7} x) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 18 (x^{1 + 1} (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \cdot 1)$

Bước 2.10

Nhân ${(x^{2} + 2)}^{8}$ với $1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8})$

Bước 2.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 2)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 2)}^{8}$

Bước 2.11.2

Nhân $16$ với $18$ .

$f'' (x) = 288 (x^{2} ({(x^{2} + 2)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 2)}^{8}$

Bước 2.11.3

Đưa $18 {(x^{2} + 2)}^{7}$ ra ngoài $288 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{7} + 18 {(x^{2} + 2)}^{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.3.1

Đưa $18 {(x^{2} + 2)}^{7}$ ra ngoài $288 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{7}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 2)}^{8}$

Bước 2.11.3.2

Đưa $18 {(x^{2} + 2)}^{7}$ ra ngoài $18 {(x^{2} + 2)}^{8}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (x^{2} + 2)$

Bước 2.11.3.3

Đưa $18 {(x^{2} + 2)}^{7}$ ra ngoài $18 {(x^{2} + 2)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (x^{2} + 2)$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (16 x^{2} + x^{2} + 2)$

Bước 2.11.4

Cộng $16 x^{2}$ và $x^{2}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (17 x^{2} + 2)$