Giải tích Ví dụ

${(x^{2} + 1)}^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x + 0)$

Bước 1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x)$

Bước 1.2.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$4 (x^{2} + 1) x$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(4 x^{2} + 4 \cdot 1) x$

Bước 1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 x^{2} x + 4 \cdot 1 x$

Bước 1.3.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot 1 x$

Bước 1.3.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot 1 x$

Bước 1.3.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot 1 x$

Bước 1.3.3.4

Nhân $4$ với $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} + 4 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 2.2.3

Nhân $3$ với $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 x^{2} + 4 \cdot 1$

Bước 2.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4$