Giải tích Ví dụ

$x^{2} e^{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x e^{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Bước 2.3.5

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Bước 2.4.2

Cộng $e^{x} (2 x)$ và $2 x e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Bước 2.4.2.2

Cộng $2 x e^{x}$ và $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Bước 2.4.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x e^{x}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 3.3.2

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 3.3.5

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x}) + 4 e^{x} + 2 e^{x}$

Bước 3.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Cộng $e^{x} (2 x)$ và $4 x e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 4 x e^{x} + 4 e^{x} + 2 e^{x}$

Bước 3.5.2.1.2

Cộng $2 x e^{x}$ và $4 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 4 e^{x} + 2 e^{x}$

Bước 3.5.2.2

Cộng $4 e^{x}$ và $2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 6 e^{x}$

Bước 3.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x + 6 e^{x}$

Bước 3.5.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

$f''' (x) = x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 6 e^{x}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 6 e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Bước 4.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [6 x e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x e^{x}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Bước 4.3.2

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Bước 4.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Bước 4.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Bước 4.3.5

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Bước 4.4

Tính $\frac{d}{d x} [6 e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 e^{x}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x}) + 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 4.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x}) + 6 e^{x}$

Bước 4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x}) + 6 e^{x} + 6 e^{x}$

Bước 4.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Cộng $e^{x} (2 x)$ và $6 x e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 6 x e^{x} + 6 e^{x} + 6 e^{x}$

Bước 4.5.2.1.2

Cộng $2 x e^{x}$ và $6 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + 6 e^{x} + 6 e^{x}$

Bước 4.5.2.2

Cộng $6 e^{x}$ và $6 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + 12 e^{x}$

Bước 4.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x^{2} + 8 e^{x} x + 12 e^{x}$

Bước 4.5.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{2} + 8 e^{x} x + 12 e^{x}$ .

$f^{4} (x) = x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + 12 e^{x}$