Giải tích Ví dụ

$\frac{17}{x^{2} + 12}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Vì $17$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{17}{x^{2} + 12}$ đối với $x$ là $17 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$ .

$17 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$

Bước 1.1.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2} + 12}$ ở dạng ${(x^{2} + 12)}^{- 1}$ .

$17 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{- 1}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2} + 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 12$ .

$17 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$17 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 12$ .

$17 (- {(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $- 1$ với $17$ .

$- 17 ({(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Bước 1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 12$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [12])$

Bước 1.3.4

Vì $12$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $12$ đối với $x$ là $0$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + 0)$

Bước 1.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x)$

Bước 1.3.5.2

Nhân $2$ với $- 17$ .

$- 34 {(x^{2} + 12)}^{- 2} x$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 34 \frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Bước 1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Kết hợp $- 34$ và $\frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$\frac{- 34}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Bước 1.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{34}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Bước 1.4.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{34}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 34}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Bước 1.4.2.4

Di chuyển $34$ sang phía bên trái của $x$ .

$f' (x) = - \frac{34 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 34$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{34 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ đối với $x$ là $- 34 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$ .

$- 34 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Bước 2.3.3

Nhân ${(x^{2} + 12)}^{2}$ với $1$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{2} + 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 12$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 12$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Bước 2.5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Bước 2.5.2

Đưa $x^{2} + 12$ ra ngoài ${(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Đưa $x^{2} + 12$ ra ngoài ${(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Bước 2.5.2.2

Đưa $x^{2} + 12$ ra ngoài $- 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Bước 2.5.2.3

Đưa $x^{2} + 12$ ra ngoài $(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Bước 2.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đưa $x^{2} + 12$ ra ngoài ${(x^{2} + 12)}^{4}$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Bước 2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Bước 2.6.3

Viết lại biểu thức.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 12$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Bước 2.9

Vì $12$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $12$ đối với $x$ là $0$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Bước 2.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Bước 2.10.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Bước 2.11

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Bước 2.12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Bước 2.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Bước 2.14

Cộng $1$ và $1$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Bước 2.15

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$- 34 \frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Bước 2.16

Kết hợp $- 34$ và $\frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ .

$\frac{- 34 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Bước 2.17

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{34 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Bước 2.18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.18.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{34 (- 3 x^{2}) + 34 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Bước 2.18.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.18.2.1

Nhân $- 3$ với $34$ .

$- \frac{- 102 x^{2} + 34 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Bước 2.18.2.2

Nhân $34$ với $12$ .

$f'' (x) = - \frac{- 102 x^{2} + 408}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$