Giải tích Ví dụ

$6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $6$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $6 y^{\frac{5}{2}}$ đối với $y$ là $6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{5}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.2.6.2

Trừ $2$ khỏi $5$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.2.7

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $y^{\frac{3}{2}}$ .

$6 \frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.2.8

Kết hợp $6$ và $\frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{6 (5 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.2.9

Nhân $5$ với $6$ .

$\frac{30 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.2.10

Đưa $2$ ra ngoài $30 y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.2.11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.2.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.2.11.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{15 y^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.2.11.4

Chia $15 y^{\frac{3}{2}}$ cho $1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- 5 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 5 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 5 x y$ đối với $y$ là $- 5 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.3.3

Nhân $- 5$ với $1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Bước 1.4

Vì $- 7 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 7 x$ đối với $y$ là $0$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + 0$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Cộng $15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$ và $0$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$

Bước 1.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (y) = - 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

Bước 2.1.2

Vì $- 5 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 5 x$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $15$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $15 y^{\frac{3}{2}}$ đối với $y$ là $15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$0 + 15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1})$

Bước 2.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 2.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}})$

Bước 2.2.6.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.2.7

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $y^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + 15 \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 2.2.8

Kết hợp $15$ và $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{15 (3 y^{\frac{1}{2}})}{2}$

Bước 2.2.9

Nhân $3$ với $15$ .

$0 + \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (y) = \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$