Giải tích Ví dụ

$x^{2} \ln (3 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (3 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $\frac{1}{3 x}$ và $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Kết hợp $3$ và $\frac{x}{3}$ .

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.4.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.6

Nhân $x$ với $1$ .

$x + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x + \ln (3 x) (2 x)$

Bước 1.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 2 x \ln (3 x) + x$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x \ln (3 x) + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x \ln (3 x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (3 x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.7

Nhân $3$ với $1$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.8

Kết hợp $\frac{1}{3 x}$ và $3$ .

$2 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.10

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.11

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.11.2

Viết lại biểu thức.

$2 (1 + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.12

Nhân $\ln (3 x)$ với $1$ .

$2 (1 + \ln (3 x)) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (1 + \ln (3 x)) + 1$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (3 x) + 1$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 2 \ln (3 x) + 1$

Bước 2.4.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (3 x) + 3$