Giải tích Ví dụ

$y = \arctan (\sqrt{7 x^{2} - 1})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{7 x^{2} - 1}$ ở dạng ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \arctan ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}))$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\arctan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.3

Rút gọn.

$\frac{1}{1 + 7 x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.4

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{7 x^{2} + 0} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.4.2

Cộng $7 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 7 x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $7 x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Bước 4.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Bước 4.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $7 x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Bước 4.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Bước 4.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Bước 4.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Bước 4.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Bước 4.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Bước 4.10

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Bước 4.10.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{{(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Bước 4.10.3

Di chuyển ${(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Bước 4.10.4

Nhân $\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{7 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (7 x^{2})} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1]$

Bước 4.10.5

Nhân $7$ với $2$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1]$

Bước 4.11

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 4.12

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{2}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 4.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 4.14

Nhân $2$ với $7$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 4.15

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x + 0)$

Bước 4.16

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.16.1

Cộng $14 x$ và $0$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x)$

Bước 4.16.2

Kết hợp $14$ và $\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ .

$\frac{14}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} x$

Bước 4.16.3

Kết hợp $\frac{14}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ và $x$ .

$\frac{14 x}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 4.16.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{14 x}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 4.16.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 4.17

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{1}}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 4.18

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 4.19

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.19.1

Đưa $x$ ra ngoài ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)}$

Bước 4.19.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cdot 1}{x ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)}$

Bước 4.19.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x}$

Bước 4.20

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$