Giải tích Ví dụ

$y = \arcsin (2 x^{5})$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (2 x^{5}))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arcsin (x)$ và $g (x) = 2 x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\arcsin (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x^{5}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x^{5})}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{5}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 (x^{5}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Bước 3.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x^{5})$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (2^{2} {(x^{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Bước 3.2.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4 {(x^{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Bước 3.2.2.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{5 \cdot 2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Bước 3.2.2.3.2

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{10})}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Bước 3.2.2.4

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Bước 3.2.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{5}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 3.2.4

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 3.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}} (5 x^{4})$

Bước 3.2.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Kết hợp $5$ và $\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}} x^{4}$

Bước 3.2.6.2

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{10}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}} x^{4}$

Bước 3.2.6.3

Kết hợp $\frac{10}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}}$ và $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{10 x^{4}}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x^{4}}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}}$