Giải tích Ví dụ

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = | \sec (x) + \tan (x) |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $| \sec (x) + \tan (x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $| \sec (x) + \tan (x) |$ .

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = | x |$ và $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $| u_{2} |$ đối với $u_{2}$ là $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Bước 3.3

Nhân $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) |}$ với $\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |}$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) | | \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Bước 3.4

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x)) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Bước 3.5

Nâng $\sec (x) + \tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} (\sec (x) + \tan (x)) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Bước 3.6

Nâng $\sec (x) + \tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Bước 3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Bước 3.8

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Bước 3.8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sec (x) + \tan (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 3.9

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 3.10

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Bước 3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ .

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |}$

Bước 3.11.2

Loại bỏ các số hạng không âm từ giá trị tuyệt đối.

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{\sec (x) + \tan (x)}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Bước 3.11.3

Triệt tiêu thừa số chung của $\sec (x) + \tan (x)$ và ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.3.1

Nhân với $1$ .

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Bước 3.11.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.3.2.1

Đưa $\sec (x) + \tan (x)$ ra ngoài ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ .

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))}$

Bước 3.11.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))}$

Bước 3.11.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Bước 3.11.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Bước 3.11.5

Nhân $\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.5.1

Kết hợp $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ và $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Bước 3.11.5.2

Kết hợp $\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ và $\tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Bước 3.11.6

Kết hợp $\sec^{2} (x)$ và $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Bước 3.11.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Bước 3.11.8

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.8.1

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Bước 3.11.8.2

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Bước 3.11.8.3

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$