Giải tích Ví dụ

$y = \ln (| 3 x^{2} - 7 x |)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| 3 x^{2} - 7 x |))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = | 3 x^{2} - 7 x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $| 3 x^{2} - 7 x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $| 3 x^{2} - 7 x |$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = | x |$ và $g (x) = 3 x^{2} - 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x^{2} - 7 x$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $| u_{2} |$ đối với $u_{2}$ là $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x^{2} - 7 x$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

Bước 3.3

Nhân $\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x |}$ với $\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |}$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x | | 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Bước 3.4

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| (3 x^{2} - 7 x) (3 x^{2} - 7 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Bước 3.5

Nâng $3 x^{2} - 7 x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} (3 x^{2} - 7 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Bước 3.6

Nâng $3 x^{2} - 7 x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Bước 3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Bước 3.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Bước 3.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} - 7 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Bước 3.10

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Bước 3.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Bước 3.12

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Bước 3.13

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 7 x$ đối với $x$ là $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7 \cdot 1)$

Bước 3.15

Nhân $- 7$ với $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7)$

Bước 3.16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7)$ .

$(6 x - 7) \frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

Bước 3.16.2

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2} - 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x) - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

Bước 3.16.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 7 x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x) + x \cdot - 7}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

Bước 3.16.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (3 x) + x \cdot - 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

Bước 3.16.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2} - 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x) - 7 x)}^{2} |}$

Bước 3.16.3.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 7 x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x) + x \cdot - 7)}^{2} |}$

Bước 3.16.3.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (3 x) + x \cdot - 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x - 7))}^{2} |}$

Bước 3.16.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $x (3 x - 7)$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} {(3 x - 7)}^{2} |}$

Bước 3.16.3.3

Viết lại ${(3 x - 7)}^{2}$ ở dạng $(3 x - 7) (3 x - 7)$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ((3 x - 7) (3 x - 7)) |}$

Bước 3.16.3.4

Khai triển $(3 x - 7) (3 x - 7)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)) |}$

Bước 3.16.3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)) |}$

Bước 3.16.3.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Bước 3.16.3.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.3.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.3.5.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Bước 3.16.3.5.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.3.5.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Bước 3.16.3.5.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Bước 3.16.3.5.1.3

Nhân $3$ với $3$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Bước 3.16.3.5.1.4

Nhân $- 7$ với $3$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Bước 3.16.3.5.1.5

Nhân $3$ với $- 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7) |}$

Bước 3.16.3.5.1.6

Nhân $- 7$ với $- 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49) |}$

Bước 3.16.3.5.2

Trừ $21 x$ khỏi $- 21 x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x + 49) |}$

Bước 3.16.3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

Bước 3.16.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.3.7.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

Bước 3.16.3.7.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} - 42 x^{2} x + x^{2} \cdot 49 |}$

Bước 3.16.3.7.3

Di chuyển $49$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

Bước 3.16.3.8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.3.8.1

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.3.8.1.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 (x^{2} x^{2}) - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

Bước 3.16.3.8.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2 + 2} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

Bước 3.16.3.8.1.3

Cộng $2$ và $2$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

Bước 3.16.3.8.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.3.8.2.1

Di chuyển $x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 (x \cdot x^{2}) + 49 \cdot x^{2} |}$

Bước 3.16.3.8.2.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.3.8.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 (x^{1} x^{2}) + 49 \cdot x^{2} |}$

Bước 3.16.3.8.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{1 + 2} + 49 \cdot x^{2} |}$

Bước 3.16.3.8.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 \cdot x^{2} |}$

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 x^{2} |}$

Bước 3.16.3.9

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.3.9.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $9 x^{4}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) - 42 x^{3} + 49 x^{2} |}$

Bước 3.16.3.9.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 42 x^{3}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + 49 x^{2} |}$

Bước 3.16.3.9.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $49 x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

Bước 3.16.3.9.4

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x)$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

Bước 3.16.3.9.5

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (9 x^{2} - 42 x) + x^{2} \cdot 49$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x + 49) |}$

Bước 3.16.3.10

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.3.10.1

Viết lại $9 x^{2}$ ở dạng ${(3 x)}^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 42 x + 49) |}$

Bước 3.16.3.10.2

Viết lại $49$ ở dạng $7^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 42 x + 7^{2}) |}$

Bước 3.16.3.10.3

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$42 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 7$

Bước 3.16.3.10.4

Viết lại đa thức này.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 7 + 7^{2}) |}$

Bước 3.16.3.10.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = 3 x$ và $b = 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} {(3 x - 7)}^{2} |}$

Bước 3.16.4

Loại bỏ các số hạng không âm từ giá trị tuyệt đối.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x^{2} {(3 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.16.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} {(3 x - 7)}^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x (x {(3 x - 7)}^{2})}$

Bước 3.16.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x (x {(3 x - 7)}^{2})}$

Bước 3.16.5.3

Viết lại biểu thức.

$(6 x - 7) \frac{3 x - 7}{x {(3 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.16.6

Triệt tiêu thừa số chung của $3 x - 7$ và ${(3 x - 7)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.6.1

Nhân với $1$ .

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{x {(3 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.16.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.6.2.1

Đưa $3 x - 7$ ra ngoài $x {(3 x - 7)}^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{(3 x - 7) (x (3 x - 7))}$

Bước 3.16.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{(3 x - 7) (x (3 x - 7))}$

Bước 3.16.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$(6 x - 7) \frac{1}{x (3 x - 7)}$

Bước 3.16.7

Nhân $6 x - 7$ với $\frac{1}{x (3 x - 7)}$ .

$\frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$