Giải tích Ví dụ

$y = x^{5} \ln (x) - \frac{1}{4} x^{4}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{5} \ln (x) - \frac{1}{4} x^{4})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{5} \ln (x) - \frac{1}{4} x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Bước 3.2.4

Kết hợp $x^{5}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Bước 3.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{5}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{5}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Bước 3.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Bước 3.2.5.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Bước 3.2.5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Bước 3.2.5.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Bước 3.2.5.2.5

Chia $x^{4}$ cho $1$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- \frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{4} x^{4}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - \frac{1}{4} (4 x^{3})$

Bước 3.3.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - 4 (\frac{1}{4}) x^{3}$

Bước 3.3.4

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{4}$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- 4}{4} x^{3}$

Bước 3.3.5

Kết hợp $\frac{- 4}{4}$ và $x^{3}$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- 4 x^{3}}{4}$

Bước 3.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x^{3}$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{4 (- x^{3})}{4}$

Bước 3.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{4 (- x^{3})}{4 (1)}$

Bước 3.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{4 (- x^{3})}{4 \cdot 1}$

Bước 3.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- x^{3}}{1}$

Bước 3.3.6.2.4

Chia $- x^{3}$ cho $1$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - x^{3}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$x^{4} - x^{3} + 5 x^{4} \ln (x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = x^{4} - x^{3} + 5 x^{4} \ln (x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + 5 x^{4} \ln (x)$