Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{2})}^{i}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân vô hạng được xác định bằng công thức $\frac{a}{1 - r}$ với $a$ là số hạng đầu và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{i}$ và $a_{i + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{i}}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1}$ và ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ ra ngoài ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{- \frac{1}{2}}{1}$

Bước 2.2.2.4

Chia $- \frac{1}{2}$ cho $1$ .

$r = - \frac{1}{2}$

Bước 3

Vì $| r | < 1$ nên chuỗi hội tụ.

Bước 4

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $1$ cho $i$ vào ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ .

$a = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

Bước 4.2

Rút gọn.

$a = - \frac{1}{2}$

Bước 5

Thế giá trị của công bội và của số hạng đầu vào công thức tính tổng.

$\frac{- \frac{1}{2}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - - \frac{1}{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $- - \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Bước 6.2.1.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$

Bước 6.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Bước 6.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 1}{2}}$

Bước 6.2.4

Cộng $2$ và $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{1}{2} (1 (\frac{2}{3}))$

Bước 6.4

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Bước 6.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Bước 6.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Bước 6.5.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{1}{3}$

Dạng thập phân:

$- 0.\overline{3}$