Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{2}{3^{i}}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân vô hạng được xác định bằng công thức $\frac{a}{1 - r}$ với $a$ là số hạng đầu và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{i}$ và $a_{i + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{\frac{2}{3^{i + 1}}}{\frac{2}{3^{i}}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$r = \frac{2}{3^{i + 1}} \cdot \frac{3^{i}}{2}$

Bước 2.2.2

Kết hợp.

$r = \frac{2 \cdot 3^{i}}{3^{i + 1} \cdot 2}$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{2 \cdot 3^{i}}{3^{i + 1} \cdot 2}$

Bước 2.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{3^{i}}{3^{i + 1}}$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $3^{i}$ và $3^{i + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Đưa $3^{i + 1}$ ra ngoài $3^{i}$ .

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1}}$

Bước 2.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{3^{i - (i + 1)}}{1}$

Bước 2.2.4.2.4

Chia $3^{i - (i + 1)}$ cho $1$ .

$r = 3^{i - (i + 1)}$

Bước 2.2.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = 3^{i - i - 1 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$r = 3^{i - i - 1}$

Bước 2.2.6

Trừ $i$ khỏi $i$ .

$r = 3^{0 - 1}$

Bước 2.2.7

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$r = 3^{- 1}$

Bước 2.2.8

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{3}$

Bước 3

Vì $| r | < 1$ nên chuỗi hội tụ.

Bước 4

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $1$ cho $i$ vào $\frac{2}{3^{i}}$ .

$a = \frac{2}{3^{1}}$

Bước 4.2

Tính số mũ.

$a = \frac{2}{3}$

Bước 5

Thế giá trị của công bội và của số hạng đầu vào công thức tính tổng.

$\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{3}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

Bước 6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Bước 6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

Bước 6.2.3

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Bước 6.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{2}{3} (1 (\frac{3}{2}))$

Bước 6.4

Nhân $\frac{3}{2}$ với $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Bước 6.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Bước 6.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} \cdot 3$

Bước 6.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} \cdot 3$

Bước 6.6.2

Viết lại biểu thức.

$1$