Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{9} {(- \frac{1}{4})}^{i}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{i}$ và $a_{i + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i + 1}}{{(- \frac{1}{4})}^{i}}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- \frac{1}{4})}^{i + 1}$ và ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ ra ngoài ${(- \frac{1}{4})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{- \frac{1}{4}}{1}$

Bước 2.2.2.4

Chia $- \frac{1}{4}$ cho $1$ .

$r = - \frac{1}{4}$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1$ cho $i$ vào ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ .

$a = {(- \frac{1}{4})}^{1}$

Bước 3.2

Rút gọn.

$a = - \frac{1}{4}$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - {(- \frac{1}{4})}^{9}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{1}{4})}^{9})}{1 - - \frac{1}{4}}$

Bước 5.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{1^{9}}{4^{9}})}{1 - - \frac{1}{4}}$

Bước 5.1.2

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{9}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Di chuyển ${(- 1)}^{9}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Bước 5.1.2.2

Nhân ${(- 1)}^{9}$ với $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Bước 5.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Bước 5.1.2.3

Cộng $9$ và $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Bước 5.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $10$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 1 \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Bước 5.1.4

Nhân $\frac{1^{9}}{4^{9}}$ với $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Bước 5.1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Bước 5.1.6

Nâng $4$ lên lũy thừa $9$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Bước 5.1.7

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262144}{262144} + \frac{1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Bước 5.1.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262144 + 1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Bước 5.1.9

Cộng $262144$ và $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Bước 5.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $- - \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 + 1 (\frac{1}{4})}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 + \frac{1}{4}}$

Bước 5.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Bước 5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{4 + 1}{4}}$

Bước 5.2.4

Cộng $4$ và $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{5}{4}}$

Bước 5.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{1}{4} (\frac{262145}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Bước 5.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $5$ ra ngoài $262145$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{5 (52429)}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Bước 5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{4} (\frac{5 \cdot 52429}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Bước 5.4.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{262144} \cdot 4)$

Bước 5.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $262144$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{4 (65536)} \cdot 4)$

Bước 5.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{4 \cdot 65536} \cdot 4)$

Bước 5.5.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{52429}{65536}$

Bước 5.6

Nhân $- \frac{1}{4} \cdot \frac{52429}{65536}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Nhân $\frac{52429}{65536}$ với $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{52429}{65536 \cdot 4}$

Bước 5.6.2

Nhân $65536$ với $4$ .

$- \frac{52429}{262144}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{52429}{262144}$

Dạng thập phân:

$- 0.20000076 \dots$