Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{9} {(\frac{1}{4})}^{i}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{i}$ và $a_{i + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{i + 1}}{{(\frac{1}{4})}^{i}}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(\frac{1}{4})}^{i + 1}$ và ${(\frac{1}{4})}^{i}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa ${(\frac{1}{4})}^{i}$ ra ngoài ${(\frac{1}{4})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{i} \frac{1}{4}}{{(\frac{1}{4})}^{i}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{i} \frac{1}{4}}{{(\frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{i} \frac{1}{4}}{{(\frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Bước 2.2.2.4

Chia $\frac{1}{4}$ cho $1$ .

$r = \frac{1}{4}$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1$ cho $i$ vào ${(\frac{1}{4})}^{i}$ .

$a = {(\frac{1}{4})}^{1}$

Bước 3.2

Rút gọn.

$a = \frac{1}{4}$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{9}}{1 - \frac{1}{4}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân tử số và mẫu số của phân số với $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{9}}{1 - \frac{1}{4}}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{9}}{1 - \frac{1}{4}})$

Bước 5.1.2

Kết hợp.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (1 - {(\frac{1}{4})}^{9})}{4 (1 - \frac{1}{4})}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{9})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{1}{4})}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{4}$ vào tử số.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{9})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{9})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

Bước 5.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{9})}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{9})}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 + 4 (- \frac{1^{9}}{4^{9}})}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1^{9}}{4^{9}}$ vào tử số.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 + 4 \frac{- 1^{9}}{4^{9}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $4^{9}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 + 4 \frac{- 1^{9}}{4 \cdot 4^{8}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 + 4 \frac{- 1^{9}}{4 \cdot 4^{8}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 + \frac{- 1^{9}}{4^{8}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{4^{8}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.5

Nâng $4$ lên lũy thừa $8$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{65536}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 + \frac{- 1}{65536}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 - \frac{1}{65536}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.8

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{65536}{65536}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot \frac{65536}{65536} - \frac{1}{65536}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.9

Kết hợp $4$ và $\frac{65536}{65536}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{4 \cdot 65536}{65536} - \frac{1}{65536}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{4 \cdot 65536 - 1}{65536}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.11.1

Nhân $4$ với $65536$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262144 - 1}{65536}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.11.2

Trừ $1$ khỏi $262144$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262143}{65536}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262143}{65536}}{4 - 1}$

Bước 5.5.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262143}{65536}}{3}$

Bước 5.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{4} (\frac{262143}{65536} \cdot \frac{1}{3})$

Bước 5.7

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $262143$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 (87381)}{65536} \cdot \frac{1}{3})$

Bước 5.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 87381}{65536} \cdot \frac{1}{3})$

Bước 5.7.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{87381}{65536}$

Bước 5.8

Nhân $\frac{1}{4} \cdot \frac{87381}{65536}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{87381}{65536}$ .

$\frac{87381}{4 \cdot 65536}$

Bước 5.8.2

Nhân $4$ với $65536$ .

$\frac{87381}{262144}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{87381}{262144}$

Dạng thập phân:

$0.33333206 \dots$