Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 3}^{13} {(i - 3)}^{2}$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(i - 3)}^{2}$ ở dạng $(i - 3) (i - 3)$ .

$(i - 3) (i - 3)$

Bước 1.2

Khai triển $(i - 3) (i - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$i (i - 3) - 3 (i - 3)$

Bước 1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 (i - 3)$

Bước 1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

Bước 1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nhân $i$ với $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

Bước 1.3.1.2

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $i$ .

$i^{2} - 3 \cdot i - 3 i - 3 \cdot - 3$

Bước 1.3.1.3

Nhân $- 3$ với $- 3$ .

$i^{2} - 3 i - 3 i + 9$

Bước 1.3.2

Trừ $3 i$ khỏi $- 3 i$ .

$i^{2} - 6 i + 9$

Bước 1.4

Viết lại tổng.

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9$

Bước 2

Tách tổng để làm cho giá trị bắt đầu của $i$ bằng $1$ .

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 - \sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$

Bước 3

Tính $\sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 \sum_{k = 1}^{13} i + \sum_{k = 1}^{13} 9$

Bước 3.2

Tính $\sum_{k = 1}^{13} i^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 3.2.2

Thay các giá trị vào công thức.

$\frac{13 (13 + 1) (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Bước 3.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Cộng $13$ và $1$ .

$\frac{13 \cdot 14 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Bước 3.2.3.1.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.2.1

Nhân $13$ với $14$ .

$\frac{182 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Bước 3.2.3.1.2.2

Nhân $2$ với $13$ .

$\frac{182 (26 + 1)}{6}$

Bước 3.2.3.1.3

Cộng $26$ và $1$ .

$\frac{182 \cdot 27}{6}$

Bước 3.2.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Nhân $182$ với $27$ .

$\frac{4914}{6}$

Bước 3.2.3.2.2

Chia $4914$ cho $6$ .

$819$

Bước 3.3

Tính $6 \sum_{k = 1}^{13} i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 3.3.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- 6) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

Bước 3.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Cộng $13$ và $1$ .

$- 6 \frac{13 \cdot 14}{2}$

Bước 3.3.3.1.2

Nhân $13$ với $14$ .

$- 6 (\frac{182}{2})$

Bước 3.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 6$ .

$2 (- 3) \frac{182}{2}$

Bước 3.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 3 \frac{182}{2}$

Bước 3.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 3 \cdot 182$

Bước 3.3.3.3

Nhân $- 3$ với $182$ .

$- 546$

Bước 3.4

Tính $\sum_{k = 1}^{13} 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 3.4.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(9) (13)$

Bước 3.4.3

Nhân $9$ với $13$ .

$117$

Bước 3.5

Cộng các kết quả của tổng.

$819 - 546 + 117$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Trừ $546$ khỏi $819$ .

$273 + 117$

Bước 3.6.2

Cộng $273$ và $117$ .

$390$

Bước 4

Tính $\sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $i$ .

$1^{2} - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Bước 4.2.2

Nhân $- 6$ với $1$ .

$1 - 6 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Bước 4.2.3

Trừ $6$ khỏi $1$ .

$- 5 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Bước 4.2.4

Cộng $- 5$ và $9$ .

$4 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Bước 4.2.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 + 4 - 6 \cdot 2 + 9$

Bước 4.2.6

Nhân $- 6$ với $2$ .

$4 + 4 - 12 + 9$

Bước 4.2.7

Trừ $12$ khỏi $4$ .

$4 - 8 + 9$

Bước 4.2.8

Cộng $- 8$ và $9$ .

$4 + 1$

Bước 4.2.9

Cộng $4$ và $1$ .

$5$

Bước 5

Thay thế các phép tổng bằng các giá trị tìm được.

$390 - 5$

Bước 6

Trừ $5$ khỏi $390$ .

$385$