Giải tích Ví dụ

$y = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{\ln (x)})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) e^{x} - e^{x} \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Bước 3.4

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $e^{x}$ .

$\frac{\ln (x) e^{x} - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (x) e^{x} - \frac{e^{x}}{x}$ .

$\frac{e^{x} \ln (x) - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Bước 3.5.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} \ln (x) - \frac{e^{x}}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} \ln (x)$ .

$\frac{e^{x} (\ln (x)) - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Bước 3.5.2.1.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- \frac{e^{x}}{x}$ .

$\frac{e^{x} (\ln (x)) + e^{x} (- \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

Bước 3.5.2.1.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} (\ln (x)) + e^{x} (- \frac{1}{x})$ .

$\frac{e^{x} (\ln (x) - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

Bước 3.5.2.2

Để viết $\ln (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{\ln (x) x}{x} - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

Bước 3.5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{x} \frac{\ln (x) x - 1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Bước 3.5.3

Kết hợp $e^{x}$ và $\frac{\ln (x) x - 1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Bước 3.5.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (x)}$

Bước 3.5.5

Kết hợp.

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1) \cdot 1}{x \ln^{2} (x)}$

Bước 3.5.6

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x \ln^{2} (x)}$

Bước 3.5.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x \ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{x} (x \ln (x) - 1)}{x \ln^{2} (x)}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{e^{x} (x \ln (x) - 1)}{x \ln^{2} (x)}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} (x \ln (x) - 1)}{x \ln^{2} (x)}$