Giải tích Ví dụ

$y = 2 x y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1)$

Bước 3.5

Nhân $y$ với $1$ .

$2 (x y' + y)$

Bước 3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x y' + 2 y$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 2 x y' + 2 y$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $2 x y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' - 2 x y' = 2 y$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $y' - 2 x y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 2 x y' = 2 y$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 2 x y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 x) = 2 y$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot 1 + y' (- 2 x)$ .

$y' (1 - 2 x) = 2 y$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - 2 x) = 2 y$ cho $1 - 2 x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - 2 x) = 2 y$ cho $1 - 2 x$ .

$\frac{y' (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{2 y}{1 - 2 x}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{2 y}{1 - 2 x}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{1 - 2 x}$