Giải tích Ví dụ

$y = 6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{2} \sin (x)$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Bước 3.2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [12 x \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x \cos (x)$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Bước 3.3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Bước 3.3.5

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $- 12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 12 \sin (x)$ đối với $x$ là $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.4.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \cos (x)$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (x^{2} \cos (x)) + 6 (\sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \cos (x)$

Bước 3.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (x^{2} \cos (x)) + 6 (\sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Bước 3.5.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Nhân $2$ với $6$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 (\sin (x) (x)) + 12 (x (- \sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Bước 3.5.3.2

Nhân $- 1$ với $12$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 \sin (x) x - 12 (x (\sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Bước 3.5.3.3

Trừ $12 x \sin (x)$ khỏi $12 \sin (x) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.1

Di chuyển $\sin (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 x \sin (x) - 12 x \sin (x) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Bước 3.5.3.3.2

Trừ $12 x \sin (x)$ khỏi $12 x \sin (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 0 + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Bước 3.5.3.4

Cộng $6 x^{2} \cos (x)$ và $0$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Bước 3.5.3.5

Trừ $12 \cos (x)$ khỏi $12 \cos (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 0$

Bước 3.5.3.6

Cộng $6 x^{2} \cos (x)$ và $0$ .

$6 x^{2} \cos (x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 6 x^{2} \cos (x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} \cos (x)$