Giải tích Ví dụ

$y = {(\frac{6 x + 9}{6 x - 9})}^{4}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{6 x + 9}{6 x - 9})}^{4})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $6 x + 9$ và $6 x - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x) + 9}{6 x - 9})}^{4}]$

Bước 3.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x) + 3 (3)}{6 x - 9})}^{4}]$

Bước 3.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{6 x - 9})}^{4}]$

Bước 3.1.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) - 9})}^{4}]$

Bước 3.1.4.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 9$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) + 3 (- 3)})}^{4}]$

Bước 3.1.4.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (2 x) + 3 (- 3)$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{4}]$

Bước 3.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{4}]$

Bước 3.1.4.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{4}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 x$ .

$4 {(\frac{3 (2 x) + 9}{6 x - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Bước 3.2.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$4 {(\frac{3 (2 x) + 3 (3)}{6 x - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Bước 3.2.3.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (2 x) + 3 (3)$ .

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{6 x - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Bước 3.2.3.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 x$ .

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Bước 3.2.3.4.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 9$ .

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) + 3 (- 3)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Bước 3.2.3.4.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (2 x) + 3 (- 3)$ .

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Bước 3.2.3.4.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Bước 3.2.3.4.5

Viết lại biểu thức.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 2 x + 3$ và $g (x) = 2 x - 3$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.4

Nhân $2$ với $1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 + 0) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Cộng $2$ và $0$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $2 x - 3$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 \cdot (2 x - 3) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.8

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.10

Nhân $2$ với $1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.11

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 + 0)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.12

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.12.1

Cộng $2$ và $0$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) \cdot 2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.12.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.12.3

Kết hợp $\frac{2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)}{{(2 x - 3)}^{2}}$ và $4$ .

$\frac{(2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)) \cdot 4}{{(2 x - 3)}^{2}} {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3}$

Bước 3.4.12.4

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)$ .

$\frac{4 \cdot (2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3))}{{(2 x - 3)}^{2}} {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ .

$\frac{4 (2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3))}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Bước 3.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - 2 (2 x + 3))}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Bước 3.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Bước 3.5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (2 (2 x)) + 4 (2 \cdot - 3) + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Bước 3.5.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 (4 x) + 4 (2 \cdot - 3) + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Bước 3.5.5.2

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{16 x + 4 (2 \cdot - 3) + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Bước 3.5.5.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$\frac{16 x + 4 \cdot - 6 + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Bước 3.5.5.4

Nhân $4$ với $- 6$ .

$\frac{16 x - 24 + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Bước 3.5.5.5

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{16 x - 24 + 4 (- 4 x) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Bước 3.5.5.6

Nhân $- 4$ với $4$ .

$\frac{16 x - 24 - 16 x + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Bước 3.5.5.7

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{16 x - 24 - 16 x + 4 \cdot - 6}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Bước 3.5.5.8

Nhân $4$ với $- 6$ .

$\frac{16 x - 24 - 16 x - 24}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Bước 3.5.5.9

Trừ $16 x$ khỏi $16 x$ .

$\frac{0 - 24 - 24}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Bước 3.5.5.10

Trừ $24$ khỏi $0$ .

$\frac{- 24 - 24}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Bước 3.5.5.11

Trừ $24$ khỏi $- 24$ .

$\frac{- 48}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Bước 3.5.5.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{48}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Bước 3.5.5.13

Nhân $\frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$ với $\frac{48}{{(2 x - 3)}^{2}}$ .

$- \frac{{(2 x + 3)}^{3} \cdot 48}{{(2 x - 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{2}}$

Bước 3.5.5.14

Nhân ${(2 x - 3)}^{3}$ với ${(2 x - 3)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.14.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{{(2 x + 3)}^{3} \cdot 48}{{(2 x - 3)}^{3 + 2}}$

Bước 3.5.5.14.2

Cộng $3$ và $2$ .

$- \frac{{(2 x + 3)}^{3} \cdot 48}{{(2 x - 3)}^{5}}$

Bước 3.5.5.15

Di chuyển $48$ sang phía bên trái của ${(2 x + 3)}^{3}$ .

$- \frac{48 {(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{5}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{48 {(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{5}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{48 {(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{5}}$