Giải tích Ví dụ

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ là ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ trong đó ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ và ${\displaystyle g\left(x\right)=x+y}$.

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle x+y}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}\left[y\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=1}$.

Viết lại ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ ở dạng ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Để viết ${\displaystyle -1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Kết hợp ${\displaystyle -1}$ và ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

Rút gọn tử số.

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

Kết hợp ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ và ${\displaystyle {(x+y)}^{-\frac{1}{2}}}$.

Di chuyển ${\displaystyle {(x+y)}^{-\frac{1}{2}}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ là ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ trong đó ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ và ${\displaystyle g\left(x\right)=x-y}$.

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle x-y}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}[-y]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=1}$.

Vì ${\displaystyle -1}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle -y}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle -\frac{d}{dx}\left[y\right]}$.

Viết lại ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ ở dạng ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Để viết ${\displaystyle -1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Kết hợp ${\displaystyle -1}$ và ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

Rút gọn tử số.

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

Kết hợp ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ và ${\displaystyle {(x-y)}^{-\frac{1}{2}}}$.

Di chuyển ${\displaystyle {(x-y)}^{-\frac{1}{2}}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Rút gọn mỗi số hạng.

Để viết ${\displaystyle \frac{1+y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{2{(x+y)}^{\frac{1}{2}}}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với ${\displaystyle \frac{{(x-y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x-y)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Để viết ${\displaystyle \frac{1-y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{2{(x-y)}^{\frac{1}{2}}}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với ${\displaystyle \frac{{(x+y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x+y)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là ${\displaystyle 2{(x+y)}^{\frac{1}{2}}{(x-y)}^{\frac{1}{2}}}$, bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của ${\displaystyle 1}$.

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

Rút gọn tử số.

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ sang vế phải của phương trình.

Đưa ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ ra ngoài ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}{(x-y)}^{\frac{1}{2}}-y\mathrm{<mo>\prime </mo>}{(x+y)}^{\frac{1}{2}}}$.

Viết lại ${\displaystyle -1{(x+y)}^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${\displaystyle -{(x+y)}^{\frac{1}{2}}}$.

Chia mỗi số hạng trong ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}({(x-y)}^{\frac{1}{2}}-{(x+y)}^{\frac{1}{2}})=-{(x-y)}^{\frac{1}{2}}-{(x+y)}^{\frac{1}{2}}}$ cho ${\displaystyle {(x-y)}^{\frac{1}{2}}-{(x+y)}^{\frac{1}{2}}}$ và rút gọn.