Giải tích Ví dụ

$\sum_{k = 5}^{13} \frac{5 - 2 k}{8}$

Bước 1

Tách tổng để làm cho giá trị bắt đầu của $k$ bằng $1$ .

$\sum_{k = 5}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} = \sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} - \sum_{k = 1}^{4} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$

Bước 2

Tính $\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} = \sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} + \sum_{k = 1}^{13} - \frac{k}{4}$

Bước 2.2

Tính $\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 2.2.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(\frac{5}{8}) (13)$

Bước 2.2.3

Nhân $(\frac{5}{8}) (13)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Kết hợp $\frac{5}{8}$ và $13$ .

$\frac{5 \cdot 13}{8}$

Bước 2.2.3.2

Nhân $5$ với $13$ .

$\frac{65}{8}$

Bước 2.3

Tính $\sum_{k = 1}^{13} - \frac{k}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đưa $- \frac{1}{4}$ ra ngoài tổng.

$(- \frac{1}{4}) \sum_{k = 1}^{13} k$

Bước 2.3.2

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 2.3.3

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- \frac{1}{4}) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Cộng $13$ và $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{13 \cdot 14}{2}$

Bước 2.3.4.1.2

Nhân $13$ với $14$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{182}{2}$

Bước 2.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{4}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{182}{2}$

Bước 2.3.4.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{182}{2}$

Bước 2.3.4.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $182$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 91}{2}$

Bước 2.3.4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 91}{2}$

Bước 2.3.4.2.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{91}{2}$

Bước 2.3.4.3

Nhân $\frac{- 1}{2}$ với $\frac{91}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 91}{2 \cdot 2}$

Bước 2.3.4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.4.1

Nhân $- 1$ với $91$ .

$\frac{- 91}{2 \cdot 2}$

Bước 2.3.4.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{- 91}{4}$

Bước 2.3.4.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{91}{4}$

Bước 2.4

Cộng các kết quả của tổng.

$\frac{65}{8} - \frac{91}{4}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Để viết $- \frac{91}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 2.5.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Nhân $\frac{91}{4}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Bước 2.5.2.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91 \cdot 2}{8}$

Bước 2.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{65 - 91 \cdot 2}{8}$

Bước 2.5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Nhân $- 91$ với $2$ .

$\frac{65 - 182}{8}$

Bước 2.5.4.2

Trừ $182$ khỏi $65$ .

$\frac{- 117}{8}$

Bước 2.5.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{117}{8}$

Bước 3

Tính $\sum_{k = 1}^{4} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $k$ .

$\frac{5}{8} - \frac{1}{4} + \frac{5}{8} - \frac{2}{4} + \frac{5}{8} - \frac{3}{4} + \frac{5}{8} - \frac{4}{4}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5 + 5 + 5 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Bước 3.2.2

Cộng $5$ và $5$ .

$\frac{10 + 5 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Bước 3.2.3

Cộng $10$ và $5$ .

$\frac{15 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Bước 3.2.4

Cộng $15$ và $5$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Bước 3.2.5

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 3 - 3 - 4}{4}$

Bước 3.2.6

Trừ $3$ khỏi $- 3$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 6 - 4}{4}$

Bước 3.2.7

Trừ $4$ khỏi $- 6$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 10}{4}$

Bước 3.2.8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$\frac{4 (5)}{8} + \frac{- 10}{4}$

Bước 3.2.8.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2} + \frac{- 10}{4}$

Bước 3.2.8.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2} + \frac{- 10}{4}$

Bước 3.2.8.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{2} + \frac{- 10}{4}$

Bước 3.2.8.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 10$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 10$ .

$\frac{5}{2} + \frac{2 (- 5)}{4}$

Bước 3.2.8.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{5}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Bước 3.2.8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Bước 3.2.8.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{2} + \frac{- 5}{2}$

Bước 3.2.8.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{5}{2} - \frac{5}{2}$

Bước 3.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5 - 5}{2}$

Bước 3.2.10

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$\frac{0}{2}$

Bước 3.2.11

Chia $0$ cho $2$ .

$0$

Bước 4

Thay thế các phép tổng bằng các giá trị tìm được.

$- \frac{117}{8} - 0$

Bước 5

Trừ $0$ khỏi $- \frac{117}{8}$ .

$- \frac{117}{8}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{117}{8}$

Dạng thập phân:

$- 14.625$

Dạng hỗn số:

$- 14 \frac{5}{8}$