Giải tích Ví dụ

$\sum_{n = 1}^{4} n^{- 2} (12)$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{n^{2}} \cdot 12$

Bước 1.2

Kết hợp $\frac{1}{n^{2}}$ và $12$ .

$\frac{12}{n^{2}}$

Bước 1.3

Viết lại tổng.

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{12}{n^{2}}$

Bước 2

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $n$ .

$\frac{12}{1^{2}} + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{12}{1} + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Bước 3.1.2

Chia $12$ cho $1$ .

$12 + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Bước 3.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$12 + \frac{12}{4} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Bước 3.1.4

Chia $12$ cho $4$ .

$12 + 3 + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Bước 3.1.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$12 + 3 + \frac{12}{9} + \frac{12}{4^{2}}$

Bước 3.1.6

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$12 + 3 + \frac{3 (4)}{9} + \frac{12}{4^{2}}$

Bước 3.1.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$12 + 3 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{12}{4^{2}}$

Bước 3.1.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 + 3 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{12}{4^{2}}$

Bước 3.1.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{12}{4^{2}}$

Bước 3.1.7

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{12}{16}$

Bước 3.1.8

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.8.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 (3)}{16}$

Bước 3.1.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.8.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Bước 3.1.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Bước 3.1.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Bước 3.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết $12$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{12}{1} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Bước 3.2.2

Nhân $\frac{12}{1}$ với $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12}{1} \cdot \frac{12}{12} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Bước 3.2.3

Nhân $\frac{12}{1}$ với $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Bước 3.2.4

Viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3}{1} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Bước 3.2.5

Nhân $\frac{3}{1}$ với $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3}{1} \cdot \frac{12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Bước 3.2.6

Nhân $\frac{3}{1}$ với $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Bước 3.2.7

Nhân $\frac{4}{3}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Bước 3.2.8

Nhân $\frac{4}{3}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3}{4}$

Bước 3.2.9

Nhân $\frac{3}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 3.2.10

Nhân $\frac{3}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Bước 3.2.11

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Bước 3.2.12

Sắp xếp lại các thừa số của $4 \cdot 3$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Bước 3.2.13

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12}$

Bước 3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{12 \cdot 12 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

Bước 3.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân $12$ với $12$ .

$\frac{144 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

Bước 3.4.2

Nhân $3$ với $12$ .

$\frac{144 + 36 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

Bước 3.4.3

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{144 + 36 + 16 + 3 \cdot 3}{12}$

Bước 3.4.4

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{144 + 36 + 16 + 9}{12}$

Bước 3.5

Cộng $144$ và $36$ .

$\frac{180 + 16 + 9}{12}$

Bước 3.6

Cộng $180$ và $16$ .

$\frac{196 + 9}{12}$

Bước 3.7

Cộng $196$ và $9$ .

$\frac{205}{12}$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{205}{12}$

Dạng thập phân:

$17.08\overline{3}$

Dạng hỗn số:

$17 \frac{1}{12}$