Giải tích Ví dụ

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{5 n}{n + 3}$

Bước 1

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $n$ .

$\frac{5 \cdot 1}{1 + 3} + \frac{5 \cdot 2}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{5 \cdot 2}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Bước 2.2

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Bước 2.3

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Bước 2.4

Nhân $5$ với $4$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Bước 2.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{5}{4} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Bước 2.5.2

Cộng $2$ và $3$ .

$\frac{5}{4} + \frac{10}{5} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Bước 2.5.3

Chia $10$ cho $5$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Bước 2.5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $15$ và $3 + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $15$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Bước 2.5.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 (1) + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Bước 2.5.4.2.2

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1} + \frac{20}{4 + 3}$

Bước 2.5.4.2.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 \cdot 1 + 3 \cdot 1$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot (1 + 1)} + \frac{20}{4 + 3}$

Bước 2.5.4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot (1 + 1)} + \frac{20}{4 + 3}$

Bước 2.5.4.2.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{1 + 1} + \frac{20}{4 + 3}$

Bước 2.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{4 + 3}$

Bước 2.5.6

Cộng $4$ và $3$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Bước 2.6

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $\frac{5}{4}$ với $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{7}{7} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Bước 2.6.2

Nhân $\frac{5}{4}$ với $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Bước 2.6.3

Viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2}{1} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Bước 2.6.4

Nhân $\frac{2}{1}$ với $\frac{28}{28}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2}{1} \cdot \frac{28}{28} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Bước 2.6.5

Nhân $\frac{2}{1}$ với $\frac{28}{28}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Bước 2.6.6

Nhân $\frac{5}{2}$ với $\frac{14}{14}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5}{2} \cdot \frac{14}{14} + \frac{20}{7}$

Bước 2.6.7

Nhân $\frac{5}{2}$ với $\frac{14}{14}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20}{7}$

Bước 2.6.8

Nhân $\frac{20}{7}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 2.6.9

Nhân $\frac{20}{7}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Bước 2.6.10

Nhân $4$ với $7$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Bước 2.6.11

Nhân $2$ với $14$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Bước 2.6.12

Sắp xếp lại các thừa số của $7 \cdot 4$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{4 \cdot 7}$

Bước 2.6.13

Nhân $4$ với $7$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{28}$

Bước 2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5 \cdot 7 + 2 \cdot 28 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Bước 2.8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Nhân $5$ với $7$ .

$\frac{35 + 2 \cdot 28 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Bước 2.8.2

Nhân $2$ với $28$ .

$\frac{35 + 56 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Bước 2.8.3

Nhân $5$ với $14$ .

$\frac{35 + 56 + 70 + 20 \cdot 4}{28}$

Bước 2.8.4

Nhân $20$ với $4$ .

$\frac{35 + 56 + 70 + 80}{28}$

Bước 2.9

Cộng $35$ và $56$ .

$\frac{91 + 70 + 80}{28}$

Bước 2.10

Cộng $91$ và $70$ .

$\frac{161 + 80}{28}$

Bước 2.11

Cộng $161$ và $80$ .

$\frac{241}{28}$

Bước 3

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{241}{28}$

Dạng thập phân:

$8.60714285 \dots$

Dạng hỗn số:

$8 \frac{17}{28}$