Giải tích Ví dụ

$\frac{\sqrt{t}}{4 t - 3}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{2}}}{4 t - 3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ và $g (t) = 4 t - 3$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 8.3

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 t - 3$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 10

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $4 t$ đối với $t$ là $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 12

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (4 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 13

Vì $- 3$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (4 + 0)}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 14

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 14.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 t$ .

$\frac{2 (2 t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.2.1.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 t) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}})} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.2.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 t \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.2.1.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.2.1.3

Kết hợp $t$ và $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t \cdot 2}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.2.1.4

Di chuyển $t^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{t \cdot 2 t^{- \frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.2.1.5

Nhân $t$ với $t^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.5.1

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} t \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.2.1.5.2

Nhân $t^{- \frac{1}{2}}$ với $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.5.2.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.2.1.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{t^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.2.1.5.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.2.1.5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.2.1.5.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.2.1.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.2.1.7

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.2.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.2.2

Trừ $4 t^{\frac{1}{2}}$ khỏi $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (2 t^{\frac{1}{2}}) - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.3.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (2 t^{\frac{1}{2}}) - (\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.3.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 t^{\frac{1}{2}}) - (\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- (2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.3.2

Để viết $2 t^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (2 t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.3.3

Kết hợp $2 t^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.5.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.3.5.2

Nhân $t^{\frac{1}{2}}$ với $t^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.5.2.1

Di chuyển $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.3.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.3.5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{\frac{1 + 1}{2}} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.3.5.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{\frac{2}{2}} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.3.5.2.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{1} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.3.5.3

Rút gọn $2 \cdot 2 t^{1}$ .

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.3.5.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{- \frac{4 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{4 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Bước 15.5

Nhân $\frac{1}{{(4 t - 3)}^{2}}$ với $\frac{4 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{4 t + 3}{{(4 t - 3)}^{2} (2 t^{\frac{1}{2}})}$

Bước 15.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(4 t - 3)}^{2}$ .

$- \frac{4 t + 3}{2 \cdot {(4 t - 3)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 15.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{4 t + 3}{2 {(4 t - 3)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{4 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}} {(4 t - 3)}^{2}}$