Giải tích Ví dụ

$\frac{\sin (q) - \cos (q)}{\sin (q)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ là $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ trong đó $f (q) = \sin (q) - \cos (q)$ và $g (q) = \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) \frac{d}{d q} [\sin (q) - \cos (q)] - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (q) - \cos (q)$ đối với $q$ là $\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [- \cos (q)]$ .

$\frac{\sin (q) (\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [- \cos (q)]) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Bước 3

Đạo hàm của $\sin (q)$ đối với $q$ là $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \frac{d}{d q} [- \cos (q)]) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $q$ , nên đạo hàm của $- \cos (q)$ đối với $q$ là $- \frac{d}{d q} [\cos (q)]$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Bước 5

Đạo hàm của $\cos (q)$ đối với $q$ là $- \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - - \sin (q)) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + 1 \sin (q)) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.2

Nhân $\sin (q)$ với $1$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \sin (q)) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Bước 7

Đạo hàm của $\sin (q)$ đối với $q$ là $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \sin (q)) - (\sin (q) - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) - (\sin (q) - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) + (- \sin (q) - - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) - \sin (q) \cos (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 8.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\sin (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) - \sin (q) \cos (q) - - \cos (q) \cos (q)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1

Trừ $\sin (q) \cos (q)$ khỏi $\sin (q) \cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) \sin (q) + 0 - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 8.4.1.2

Cộng $\sin (q) \sin (q)$ và $0$ .

$\frac{\sin (q) \sin (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 8.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Nhân $\sin (q) \sin (q)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.1

Nâng $\sin (q)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{1} (q) \sin (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 8.4.2.1.2

Nâng $\sin (q)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{1} (q) \sin^{1} (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 8.4.2.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{\sin (q)}^{1 + 1} - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 8.4.2.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 8.4.2.2

Nhân $- - \cos (q)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + 1 \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 8.4.2.2.2

Nhân $\cos (q)$ với $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 8.4.2.3

Nhân $\cos (q) \cos (q)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.3.1

Nâng $\cos (q)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos^{1} (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 8.4.2.3.2

Nâng $\cos (q)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos^{1} (q) \cos^{1} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 8.4.2.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sin^{2} (q) + {\cos (q)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (q)}$

Bước 8.4.2.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 8.4.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{1}{\sin^{2} (q)}$

Bước 8.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{2} (q)}$ sang $\csc^{2} (q)$ .

$\csc^{2} (q)$